已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+2在x=1時(shí)有極值6.
(Ⅰ)求b,c的值;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的圖象上是的切線與直線3x+y+1=0平行,求該切線方程.
【答案】
分析:(Ⅰ)由函數(shù)f(x)=x
3+bx
2+cx+2在x=1時(shí)有極值6可得f(1)=6,f′(1)=0,可求得,c的值;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的圖象上是的切線與直線3x+y+1=0平行,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求得切點(diǎn)的坐標(biāo),從而求得切線方程.
解答:(Ⅰ)解:f′(x)=3x
2+2bx+c,
依題意有f(1)=6,f′(1)=0.
可得
可得b=-6,c=9.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f′(x)=3x
2-12x+9,
依題意可知,切線的斜率為-3.
令f′(x)=-3,
可得x=2,
即f′(2)=-3.
又f(2)=4,
所以切線過點(diǎn)(2,4).
從而切線方程為3x+y-10=0.
點(diǎn)評:考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件和導(dǎo)數(shù)的幾何意義,體現(xiàn)了解方程的思想方法,屬基礎(chǔ)題.