Question

13．如圖所示，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等邊三角形，ABCD是矩形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，P是O的中點(diǎn)，O是PQ的中點(diǎn)，EC與平面ABCD成30°角．
（1）求證：EG⊥平面ABCD；
（2）求證：HF∥平面EAD；
（3）若AD=4，求三棱錐D-CEF的體積．

Answer 1

分析 （1）證明EG⊥AD，利用平面與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理推出EG⊥平面ABCD．
（2）取ED的中點(diǎn)I，連HI，AI，證明AFHI是平行四邊形，F(xiàn)H∥AI，然后證明HF∥平面EAD．
（3）連CG，說明∠ECG是EC與平面ABCD成角，通過解三角形以及${V_{D-CEF}}={V_{E-CDF}}=\frac{1}{3}{S_{△CDF}}•EG=\frac{{16\sqrt{6}}}{3}$，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 （1）證明：∵△ADE是等邊三角形，且G是AD的中點(diǎn)∴EG⊥AD，
又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，EG?平面EAD∴EG⊥平面ABCD
（2）證明：取ED的中點(diǎn)I，連HI，AI，∵H是CE的中點(diǎn)∴$HI∥CD，HI=\frac{1}{2}CD$∵ABCD是矩形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)∴$AF∥CD，AF=\frac{1}{2}CD$∴AF∥CD，AF=CD，則AFHI是平行四邊形∴FH∥AI，則AI?平面EAD，F(xiàn)H?平面EAD∴HF∥平面EAD
（3）解：連CG，由（1）知EG⊥平面ABCD，則∠ECG是EC與平面ABCD成角，
即∠ECG=30°，且EG⊥CG而△ADE是等邊三角形，當(dāng)AD=4時(shí)，$EG=2\sqrt{3}$，
在Rt△CEG中，又∵∠ECG=30°，則$CG=\sqrt{3}EG=6$
又ABCD是矩形，且G是AD的中點(diǎn)，則$DG=2，CD=\sqrt{C{G^2}-D{G^2}}=4\sqrt{2}$∴${S_{△CDF}}=\frac{1}{2}CD•AD=8\sqrt{2}$∴${V_{D-CEF}}={V_{E-CDF}}=\frac{1}{3}{S_{△CDF}}•EG=\frac{{16\sqrt{6}}}{3}$
所以三棱錐D-CEF的體積為$\frac{{16\sqrt{6}}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行平面與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．