已知數(shù)列{an}滿足a1=
1
2
,an+1=
(n+1)(2an-n)
an+4n
(n∈N+)

(1)求a2,a3,a4;
(2)是否存在實數(shù)t,使得數(shù)列
an+tn
an+n
是公差為-1的等差數(shù)列,若存在求出t的值,否則,請說明理由;
(3)記bn=
1
3
n+2
2
an+2
(n∈N+)
數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,求證:Sn>-
2
3
+1
12
分析:(1)由a1=
1
2
,an+1=
(n+1)(2an-n)
an+4n
,能求出a2,a3,a4
(2)由
an+1+t(n+1)
an+1+n+1
-
an+tn
an+n
=
(n+1)(2an-n)
an+4n
+t(n+1)
(n+1)(2an-n)
an+4n
+n+1
-
an+tn
an+n
=
(t+2)an+(4t-1)n
3an+3n
-
an+tn
an+n
=
t-1
3
,知數(shù)列{
an+tn
an+n
}
是公差為
t-1
3
的等差數(shù)列.由此能求出t的值.
(3)由
an-2n
an+n
=
a1-2
a1+1
+(n-1)×(-1)=-n
,知an=
-n2+2n
n+1
,由此入手能夠證明Sn>-
2
3
+1
12
解答:解:(1)∵a1=
1
2
an+1=
(n+1)(2an-n)
an+4n
,
a2=0,a3=-
3
4
a4=-
8
5
.(3分)
(2)
an+1+t(n+1)
an+1+n+1
-
an+tn
an+n
=
(n+1)(2an-n)
an+4n
+t(n+1)
(n+1)(2an-n)
an+4n
+n+1
-
an+tn
an+n
=
(t+2)an+(4t-1)n
3an+3n
-
an+tn
an+n
=
t-1
3
,
∴數(shù)列{
an+tn
an+n
}
是公差為
t-1
3
的等差數(shù)列.
由題意,知
t-1
3
=-1
,得t=-2.(7分)
(3)由(2)知
an-2n
an+n
=
a1-2
a1+1
+(n-1)×(-1)=-n
,
所以an=
-n2+2n
n+1
,(9分)
此時bn=
1
3
n+2
2
-(n+2)2+2(n+2)
n+3
=
-n-3
(
3
)
n+2
(n+2)n
=
1
2
[
1
(
3
)
n+2
(n+2)
-
1
(
3
)
n
n
]
,
Sn=
1
2
[
1
(
3
)
3
×3
-
1
3
+
1
(
3
)
4
×4
-
1
(
3
)
2
×2
+
1
(
3
)
5
×5
-
1
(
3
)
3
×3
++
1
(
3
)
n+2
×(n+2)
-
1
(
3
)
n
×n
]
=
1
2
[-
1
3
-
1
6
+
1
(
3
)
n+1
×(n+1)
+
1
(
3
)
n+2
×(n+2)
]>
1
2
×(-
1
3
-
1
6
)=-
2
3
+1
12

Sn>-
2
3
+1
12
.(14分)
點評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用,解題時要注意公式的合理運用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn;
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項公式
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1

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