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已知二次函數f(x)=ax2+bx+c,(a,b,c∈R)滿足,對任意實數x,都有f(x)≥x,且當x∈(1,3)時,有f(x)≤
1
8
(x+2)2成立.
(1)證明:f(2)=2,若f(-2)=0,求f(x)的表達式
(2)設g(x)=f(x)-
m
2
x,x∈[0,+∞),若g(x)圖象上的點都位于直線y=
1
4
的上方,求實數m的取值范圍.
分析:(1)由已知f(2)≥2成立,又由f(x))≤
1
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(x+2)2成立,得f(2)≤
1
8
(2+2)2
=2,根據兩種情況可得f(2)值;f(-2)=0,由上述證明知f(2)=2,f(x)的表達式中有三個未知數,由兩函數值只能得出兩個方程,再對任意實數x,都有f(x)≥x,這一恒成立的關系得到(4a-
1
2
)2
0,由此可以得到a=
1
8
,將此三方程聯立可解出三個參數的值,求出f(x)的表達式;
(2)g(x)=
1
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x2+(
1
2
-
m
2
)x
+
1
2
1
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在[0,+∞)時必須恒成立,即x2+4(1-m)x+2>0在x∈[0,+∞)恒成立.轉化為二次函數圖象與x軸在x∈[0,+∞)無交點的問題,由于g(x)的單調性不確定,故本題要分兩種情況討論,一種是對稱軸在y軸右側,此時需要判別式小于0,一類是判別式大于0,對稱軸小于0,且x=0處的函數值大于等于0,轉化出相應的不等式求解.
解答:解:(1)由條件知:f(2)=4a+2b+c≥2成立,
又另取x=2時,f(2)=4a+2b+c≤
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(2+2)2=2
成立,
∴f(2)=2;
f(2)=4a+2b+c=2
f(-2)=4a-2b+c=0
,∴4b=2即b=
1
2
,4a+c=1,
又f(x)≥x恒成立,即ax2+(b-1)x+c≥0在R上恒成立,
∴a>0且△=(b-1)2-4ac≤0,即a>0,△=(
1
2
-1)2-4a(1-4a)≤0
,
解得:a=
1
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,b=
1
2
,c=
1
2

所以f(x)=
1
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x2+
1
2
x+
1
2

(2)由題意可得:g(x)=
1
8
x2+(
1
2
-
m
2
)x
+
1
2
1
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在[0,+∞)時必須恒成立,即x2+4(1-m)x+2>0在[0,+∞)時恒成立,
則有以下兩種情況:
①△<0,即16(1-m)2-8<0,解得1-
2
2
<m<1+
2
2

△≥0
-2(1-m)≤0
f(0)=2>0
,解得:m≤1-
2
2
,
綜上所述:m∈(-∞,1+
2
2
)
點評:本題是二次函數的一道綜合題,考查到了分類討論的思想,考查推理論證能力,對分析轉化的推理能力要求較高.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知二次函數f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
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(Ⅱ)若函數在區(qū)間[2,+∞)上為增函數,求m的取值范圍.

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(Ⅰ)求f(x)的表達式;
(Ⅱ)設函數F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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f(x)x-1

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科目:高中數學 來源: 題型:

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(2)已知二次函數f(x)的圖象的頂點是(-1,2),且經過原點,求f(x)的解析式.

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