Question

數列{a_n}、{b_n}滿足a₃=b₃=6，a₄=b₄=4，a₅=b₅=3，且{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差數列，{b_n-2}（n∈N^*）是等比數列．
（I）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（II）n取何值時，a_n-b_n取到最小正值？試證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知，可求出{a_n+1-a_n}的第三項與公差，{b_n-2}的第三項與公比，代入等差和等比數列的通項公式，即可求出a_n+1-a_n與b_n-2的表達式，再利用疊加法轉化為等差數列求和，從而求出a_n與b_n；
（2）利用數學歸納法或函數單調性求a_n的最小值．
解答：解：（I）設c_n=a_n+1-a_n，數列{a_n+1-a_n}的公差為d，
則c₃=a₄-a₃=-2，c₄=a₅-a₄=-1，
∴d=c₄-c₃=1，
∴c_n=c₃+（n-3）=n-5，
∴a_n+1-a_n=n-5
∴（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₅-a₄）+（a₄-a₃）=（n-6）+（n-7）+…+（-1）+（-2），
∴，
∴；（4分）
設d_n=b_n-2，數列{b_n-2}的公比是q，則d₃=b₃-2=4，d₄=b₄-2=2，
∴，
∴，
∴b_n=2+2^5-n（n∈N^*）（7分）．
（II）a₁-b₁=-5，a₂-b₂=-1，a₃-b₃=a₄-b₄=a₅-b₅=0，
，
猜想：n=6時，a₆-b₆取到最小正值．（9分）
下面用數學歸納法給以證明：
（1）當n=7時，；
（2）假設n=k（k≥7，k∈N^*）時，，
當n=k+1時，
=，
又∵，
即，
∴n=k+1時，猜想成立．
由（1）、（2）知，對任意不少于7的正整數n，均有．
綜上所述，n=6時，a₆-b₆取到最小正值．（14分）
（用函數單調性證明相應給分）
點評：本題主要考查了函數，等差和等比數列的通項公式等知識，同時考查了分析，推理的能力及運算能力，解題過程中充分運用了疊加法，數學歸納法．