Question

（理科試題）如圖，在空間四邊形OABC中，G是△ABC的重心，若

OG

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，則x+y+z=

1

．

Answer 1

分析：取AB中點D，連接OD、CD，根據(jù)G是△ABC的重心，得到

CG

=2

GD

，所以

OG

=

1

3

OC

+

2

3

OD

…①；因為D為線段AB中點，所以

OD

=

1

2

OA

+

1

2

OB

…②，①②聯(lián)解得

OG

=

1

3

OA

+

1

3

OB

+

1

3

OC

．由此結(jié)合題意，得x=y=z=

1

3

，可得x+y+z=1．

解答：解：取AB中點D，連接OD、CD，因為G是△ABC的重心，所以G在CD上且CG=2GD
∵

CG

=2

GD

，即

OG

-

OC

=2（

OD

-

OG

）
∴

OG

=

1

3

OC

+

2

3

OD

…①
又∵D為線段AB中點
∴

OD

=

1

2

OA

+

1

2

OB

…②，
將②代入①得

OG

=

1

3

OC

+

2

3

(

1

2

OA

+

1

2

OB

)=

1

3

OA

+

1

3

OB

+

1

3

OC

．
∵

OG

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，
∴x=y=z=

1

3

，可得x+y+z=1
故答案為：1

點評：本題在四面體中，由一頂點指向?qū)γ嫒�角形重心的向量為例，考查了空間向量基本定理及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．