對于函數(shù)f(x),若在其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)a,b(a<b),使得當(dāng)x∈[a,b]時,f(x)的值域是[a,b],則稱函數(shù)f(x)為“M函數(shù)”.給出下列四個函數(shù):①f(x)=x+1  ②f(x)=-x2+1  ③f(x)=2x-2  ④f(x)=
x
-
1
8

其中所有“M函數(shù)”的序號為
②③④
②③④
分析:根據(jù)定義域求出值域,然后尋找其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)a,b(a<b),使當(dāng)x∈[a,b]時,f(x)的值域也是[a,b]的a與b的值,即可判定.
解答:解:(1)①f(x)=x+1,當(dāng)x∈[a,b]時,f(x)的值域是[a+1,b+1],找不到滿足條件的a與b,根據(jù)定義可知f(x)=x+1不是“M函數(shù)”;
②f(x)=-x2+1,當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)的值域是[0,1],根據(jù)定義可知f(x)=-x2+1是“M函數(shù)”;
③f(x)=2x-2,由于它在R上是增函數(shù),當(dāng)x∈[a,b]時,f(x)的值域是[2a-2,2b-2],
由2a-2=a,2b-2=b,得2a=a+2,2b=b+2,
∵函數(shù)y=2x與y=x+2有兩個交點,
根據(jù)定義可知f(x)=2x-2是“M函數(shù)”;
④f(x)=
x
-
1
8
,由于它在R上是增函數(shù),當(dāng)x∈[a,b]時,f(x)的值域是[
a
-
1
8
b
-
1
8
],
由a=
a
-
1
8
,b=
b
-
1
8
,得
a
=a+
1
8
,
b
=b+
1
8
,
∵y=
x
與y=x+
1
8
有兩個交點,
根據(jù)定義可知f(x)=
x
-
1
8
是“M函數(shù)”;
綜上,所有“M函數(shù)”的序號為②③④.
故答案為:②③④.
點評:本題考查了函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域問題.對于函數(shù)的定義域是指使得函數(shù)的解析式有意義的取值范圍,要熟悉基本初等函數(shù)的定義域以及常見函數(shù)的限制條件,求函數(shù)的值域要注意考慮定義域的取值,再根據(jù)函數(shù)的解析式進行判斷該使用何種方法求解值域.屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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對于函數(shù)f(x),若存在區(qū)間M=[a,b](其中a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,則稱區(qū)間M為函數(shù)f(x)的一個“穩(wěn)定區(qū)間”.給出下列4個函數(shù):
①f(x)=(x-1)2;②f(x)=|2x-1|;③f(x)=cos
π2
x
;④f(x)=ex.其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有
 
(填出所有滿足條件的函數(shù)序號)

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對于函數(shù)f(x),若在其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)a,b(a<b),使當(dāng)x∈[a,b]時,f(x)的值域也是[a,b],則稱函數(shù)f(x)為“科比函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=k+
x+2
是“科比函數(shù)”,則實數(shù)k的取值范圍是
 

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對于函數(shù)f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,則稱x0為f(x)的不動點.如果函數(shù)
f(x)=ax2+bx+1(a>0)有兩個相異的不動點x1,x2
(1)若x1<1<x2,且f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,求證:
12
<m<1;
(2)若|x1|<2且|x1-x2|=2,求b的取值范圍.

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對于函數(shù)f(x),若f(x0)=x0,則稱x0為f(x)的:“不動點”;若f[f(x0)]=x0,則稱x0為f(x)的“穩(wěn)定點”.函數(shù)f(x)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B,即A={x|f[f(x)]=x}.
(1)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且A=∅,求證:B=∅;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=3x+4,求集合A和B,并分析能否根據(jù)(1)(2)中的結(jié)論判斷A=B恒成立?若能,請給出證明,若不能,請舉以反例.

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對于函數(shù)f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0,則稱x0為函數(shù)f(x)的不動點.若函數(shù)f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N*)有且僅有兩個不動點0和2,且f(-2)<-
1
2

(1)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,
(2)已知各項不為0的數(shù)列{an}滿足4Sn•f(
1
an
)=1,其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項和,求證:(1-
1
an
)an+1
1
e
<(1-
1
an
)an

(3)在(2)的前題條件下,設(shè)bn=-
1
an
,Tn表示數(shù)列{bn}的前n項和,求證:T2011-1<ln2011<T2010

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