Question

設(shè)函數(shù)．
（1）當n=2，b=1，c=-1時，求函數(shù)f_n（x）在區(qū)間內(nèi)的零點；
（2）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，證明：f_n（x）在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點；
（3）設(shè)n=2，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1），令f₂（x）=0，得到f₂（x）在區(qū)間（，1）內(nèi)的零點．
（2）由，f_n（1）＞0．知f_n（1）＜0．從而得到f_n（x）在內(nèi)存在零點．利用定義法推導出f_n（x）在內(nèi)單調(diào)遞增，由此能夠證明f_n（x）在內(nèi)存在唯一零點．
（3）當n=2時，f₂（x）=x²+bx+c．對任意x₁，x₂∈[-1，1]都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，等價于f₂（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤4．由此進行分類討論能求出b的取值范圍．
解答：解：（1），
令f₂（x）=0，得，
所以f₂（x）在區(qū)間（，1）內(nèi)的零點是x=．
（2）證明：因為 ，f_n（1）＞0．
所以f_n（1）＜0．
所以f_n（x）在內(nèi)存在零點．
任取x₁，x₂∈（，1），且x₁＜x₂，
則f_n（x₁）-f_n（x₂）=（）+（x₁-x₂）＜0，
所以f_n（x）在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以f_n（x）在內(nèi)存在唯一零點．
（3）當n=2時，f₂（x）=x²+bx+c．
對任意x₁，x₂∈[-1，1]都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，
等價于f₂（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤4．
據(jù)此分類討論如下：
①當，即|b|＞2時，M=|f₂（1）-f₂（-1）|=2|b|＞4，與題設(shè)矛盾．
②當-1≤＜0，即0＜b≤2時，M=f₂（1）-f₂（）=（+1）²≤4恒成立．
③當0≤≤1，即-2≤b≤0時，M=f₂（-1）-f₂（）=（-1）²≤4恒成立．
綜上可知，-2≤b≤2．
點評：本題考查函數(shù)的零點的求法，考查函數(shù)有唯一零點的證明，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運用．