Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，Sn=λa_n-1（λ為常數(shù)，n=1，2，3，…）．
（I）若a₃=a₂²，求λ的值；
（II）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在．請(qǐng)說(shuō)明理由
（III）當(dāng)λ=2時(shí)，若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且b₁=

3

2

，令cn=

an

(an+1) bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

（I）因?yàn)镾_n=λa_n-1，
所以a₁=λa₁-1，a₂+a₁=λa₂-1，a₃+a₂+a₁=λa₃-1，
由a₁=λa₁-1可知λ≠1，
所以a₁=

1

λ-1

，a₂=

λ

(λ-1)2

，a₃=

λ2

(λ-1)3

，
因?yàn)閍₃=a₂²，
所以

λ2

(λ-1)4

=

λ2

(λ-1)3

，
所以λ=0或λ=2．
（II）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，則2a₂=a₁+a₃，
由（I）可知，

2 λ

(λ-1)2

=

1

λ-1

+

λ2

(λ-1)3

，
所以

2 λ

(λ-1)2

=

2λ2-2λ+1

(λ-1)3

，即1=0，矛盾，
所以不存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（III）當(dāng)λ=2時(shí)，S_n=2a_n-1，
所以S_n-1=2a_n-1-1，且a₁=1，
所以a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1  （n≥2）．
所以a_n≠0（n∈N^*），且

an

an-1

=2（n≥2）．
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以a_n=2a^n-1（n∈N^*），
因?yàn)閎_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且b₁=

3

2

，
所以b_n=a_n-1+b_n-1=a_n-1+a_n-2+b_n-2=…=a_n-1+a_n-2+…+a₁+b₁
=

2n+1

2

  n≥ 2．
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立．
所以b_n=

2n+1

2

    n∈N*．
因?yàn)?span mathtag="math" >cn=

an

(an+1)bn

，
所以cn=

2n-1

(2n-1+1)  2n+1 2

=

2•2n-1

(2n-1+1) (2n+)

因?yàn)?span mathtag="math" >

2n-1

(2n-1+1) (2n+)

=

1

2n-1+1

-

1

2n+1

，
所以T_n=C₁+C₂+…+C_n
=2(

1

2

-

1

2+1

+

1

2+1

-

1

22+1

+…+

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)
=1-

2

2n+1

=

2n-1

2n+1

．