Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+1，（a∈R）
（1）若在f（x）的圖象上橫坐標為

2

3

的點處存在垂直于y軸的切線，求a的值；
（2）若f（x）在區(qū)間（-2，3）內(nèi)有兩個不同的極值點，求a取值范圍；
（3）在（1）的條件下，是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有三個交點，若存在，試出實數(shù)m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，再由f′（

2

3

）=0求解a．
（2）將“f（x）在區(qū)間（-2，3）內(nèi)有兩個不同的極值點”轉(zhuǎn)化為“方程f′（x）=0在區(qū)間（-2，3）內(nèi)有兩個不同的實根”，用△＞0求解．
（3）在（1）的條件下，a=1，“要使函數(shù)f（x）與g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象恰有三個交點”即為“方程x²（x²-4x+1m）=0恰有三個不同的實根”．因為x=0是一個根，所以方程x²-4x+1-m=0應(yīng)有兩個非零的不等實根，再用判別式求解．

解答：解：（1）依題意，f′（

2

3

）=0
∵f′（x）=-3x²+2ax
-3（

2

3

）²+2•a•

2

3

=0，
∴a=1（3分）
（2）若f（x）在區(qū)間（-2，3）內(nèi)有兩個不同的極值點，
則方程f′（x）=0在區(qū)間（-2，3）內(nèi)有兩個不同的實根，
∴△＞0，f′（-2）＜0，f′（3）＜0，-2＜

a

3

＜3，
解得-3＜a＜

9

2

且a≠0
但a=0時，f（x）=-x³+1無極值點，
∴a的取值范圍為（-3，0）∪（0，

9

2

）（8分）
（3）在（1）的條件下，a=1，
要使函數(shù)f（x）與g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象恰有三個交點，
等價于方程-x³+x²+1=x⁴-5x³+（2-m）x²+1，
即方程x²（x²-4x+1-m）=0恰有三個不同的實根．
∵x=0是一個根，
∴應(yīng)使方程x²-4x+1-m=0有兩個非零的不等實根，
由△=16-4（1-m）＞0，1-m≠0，解得m＞-3，m≠1（12分）
∴存在m∈（-3，1）∪（1，+∞），
使用函數(shù)f（x）與g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象恰有三個交點（13分）

點評：本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運用，主要涉及了方程的根與函數(shù)的零點間的轉(zhuǎn)化．還考查了計算能力和綜合運用知識的能力．