在△ABC和△AEF中，B是EF的中點，AB=EF=1，BC=6，CA=
33
，若
AB
•
AE
+
AC
•
AF
=2，則
EF
與
BC
的夾角的余弦值等于
2
3
2
3
．
分析：由
BC
2=36求得 
AC
•
AB
=-1，再由
AB
•
AE
+
AC
•
AF
=2 求得
EF
•
BC
=4．再由兩個向量的數(shù)量積的定義求得
EF
與
BC
的夾角的余弦值．
解答：解：由題意可得
BC
2=(
AC
-
AB
)2=
AC
2+
AB
2-2
AC
•
AB
=33+1-2
AC
•
AB
=36，∴
AC
•
AB
=-1．
由
AB
•
AE
+
AC
•
AF
=2 可得
AB
•(
AB
+
BE
)+
AC
•(
AB
+
BF
)=
AB
2+
AB
•
BE
+
AC
•
AB
+
AC
•
BF
=1-
AB
•
BF
+（-1）+
AC
•
BF
=
BF
•（
AC
-
AB
）=
1
2
EF
•
BC
=2，
故有
EF
•
BC
=4．
再由
EF
•
BC
=1×6×cos＜
EF
 ， 
BC
＞，可得 6×cos＜
EF
 ， 
BC
＞=4，∴cos＜
EF
 ， 
BC
＞=
2
3
，
故答案為
2
3
．
點評：本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的定義、以及運算性質(zhì)，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•徐州模擬）如圖，在△ABC和△AEF中，B是EF的中點，AB=EF=1，CA=CB=2，若
AB
•
AE
+
AC
•
AF
=2，則
EF
與
BC
的夾角等于
π
3
π
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC和△AEF中，B是EF的中點，AB=EF=2，CA=CB=3，若
AB
•
AE
+
AC
•
AF
=7，則
EF
與
BC
的夾角的余弦值等于
1
3
1
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣東省英文學校高三下學期第一次月考理科數(shù)學 題型：填空題

在△ABC和△AEF中，B是EF的中點，AB=EF=1，BC=6，，若

，則與的夾角的余弦值等于              ；

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011屆浙江省高三6月考前沖刺卷數(shù)學理 題型：填空題

如圖，在△ABC和△AEF中，B是EF的中點，AB=EF=1，，若

，則與的夾角等于        ．

 

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