Question

甲、乙、丙、丁4個(gè)人各寫(xiě)1張賀卡，放在一起，再各取1張不是自己所寫(xiě)的賀卡，共有多少種不同取法？

Answer 1

思路分析：方法一：排出所有的分配方案.

甲取得乙卡，分配方案如下表：

此時(shí)乙有甲、丙、丁3種取法，若乙取甲，則丙取丁、丁取丙，故有3種分配方案；

（2）甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取賀卡如下：

丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；

（3）甲取得丁卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取賀卡如下：

丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲.

由加法原理，共有3+3+3=9種.

方法二：排除法.

先求4個(gè)人各取1張賀卡的總方法，再去掉不合題意的取法.不合題意的取法包括：

有3個(gè)人都取自己寫(xiě)的賀卡；有2個(gè)人取自己寫(xiě)的賀卡，另2個(gè)人不取自己所寫(xiě)的賀卡；有1個(gè)人取自己寫(xiě)的賀卡，另3個(gè)人不取自己所寫(xiě)的賀卡.

方法三：分步法.

第一步，甲取1張不是自己所寫(xiě)的賀卡，有3種取法；第二步，由甲取出的那張賀卡的供卡人取，也有3種取法；第三步，由剩余兩人中任一人取，此時(shí)只有1種取法；第四步，最后1個(gè)人取，只有1種取法.

由乘法原理，共有3×3×1×1=9種.

解法一：根據(jù)分析，由加法原理，共有3+3+3=9種.

解法二：4個(gè)人各取1張賀卡.甲先取1張賀卡有4種方法，乙再取1張賀卡有3種方法，然后丙取1張賀卡有2種方法，最后丁僅有1種方法.由乘法原理，4個(gè)人各取1張賀卡共有4×3×2×1=24種.

3個(gè)人都取自己寫(xiě)的賀卡只有1種方法；

2個(gè)人取自己寫(xiě)的賀卡，另2個(gè)人不取自己寫(xiě)的賀卡方法有6種（即從4個(gè)人中選出取自己所寫(xiě)的賀卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙�。�；

1個(gè)人取自己寫(xiě)的賀卡，另3個(gè)人不取自己所寫(xiě)的賀卡方法有8種.（從4個(gè)人中選出自己寫(xiě)的賀卡的1個(gè)人有4種方法，而3個(gè)人都不取自己寫(xiě)的賀卡的方法有2種方法，如下表）

因此，4個(gè)人都不取自己所寫(xiě)賀卡的取法有24-（1+6+8）=9種.

解法三：根據(jù)分析，由乘法原理，共有3×3×1×1=9種.

黑色陷阱：（1）方法二中容易多減一項(xiàng)4個(gè)人都取自己所寫(xiě)賀卡的取法，原因在于4個(gè)人都取自己所寫(xiě)賀卡與3個(gè)人都取自己所寫(xiě)賀卡是同一種情況.

（2）方法一與方法三中若甲先取乙卡，第二步由乙取，有3種取法，若由丙、丁中1人先取，就會(huì)誤入歧途，很難斷定有兩種還是3種取法.