如圖,半圓O的直徑為2,A為直徑的延長線上的一點,OA=2,B為半圓周上的動點,以AB為邊,向形外作等邊△ABC,問B點在什么位置時,四邊形OACB的面積最大?并求出這個最大面積.

   

思路分析:本題主要綜合考查正、余弦定理及函數(shù)的最值等問題,首先應建立四邊形AOBC面積的函數(shù)關(guān)系式,然后討論最值.

    解:設∠AOB=x,由OA=2,OB=1.

    知AB2=OA2+OB2-2OA·OBcosx=5-4cosx.

△ABC與△AOB的面積分別為

S△ABC=AB2=(5-4cosx),

S△AOB=OA·OBsinx=sinx.

    所以四邊形OACB的面積為

S=(5-4cosx)+sinx,

    整理得S=+2sin(x-60°).

    由上式可知,當x-60°=90°,即x=150°時,四邊形OACB的面積最大,且其最大面積為+2.

練習冊系列答案
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