已知{an}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1a3+2a2a4+a3a5=100,4是a2和a4的一個(gè)等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若{an}的公比q∈(0,1),設(shè)bn=an•log2an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
分析:(1)根據(jù)a
n是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,且a
1a
3+2a
2a
4+a
3a
5=100求出a
2+a
4=10,然后聯(lián)合a
2•a
4=16,求出數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式,
(2)當(dāng){a
n}的公比q∈(0,1),即q=
,然后根據(jù)b
n=a
n•log
2a
n,把a(bǔ)
n代入可得a
n=(5-n)•2
5-n,求出S
n=4•2
4+3•2
3+2•2
2++(5-n)•2
5-n,再用
•S
n得
S
n=4•2
3+3•2
2+2•2
1+…+(5-n)•2
4-n,兩式相減后即可得數(shù)列{b
n}的前n項(xiàng)和S
n.
解答:解:(1)a
n是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,且a
1a
3+2a
2a
4+a
3a
5=100∴a
22+2a
2a
4+a
42=100,(a
2+a
4)
2=100即:a
2+a
4=10,
由
?或
,
1當(dāng)
時(shí),
q2==4?q=2(q=-26舍去),a
n=a
2q
n-2=2
n-1,
②當(dāng)
時(shí),
q2==?q=(q=-舍去),a
n=a
2q
n-2=2
5-n,
(2)若0<q<1,則:a
n=a
2q
n-2=2
5-nlog
2a
n=5-nb
n=a
nlog
2a
n=(5-n)•2
5-n∴S
n=4•2
4+3•2
3+2•2
2+…+(5-n)•2
5-n,
S
n=4•2
3+3•2
2+2•2
1+…+(5-n)•2
4-n,
兩式相減得:
S
n=4•2
4-(2
3+2
2+2
1++2
5-n)-(5-n)•2
4-n=
64--(5-n)•24-n,
S
n=96+(n-3)•2
5-n.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)列求和和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的知識(shí)點(diǎn),解答本題的關(guān)鍵是要分類(lèi)討論求出等比數(shù)列的公比q,還要熟練掌握用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.