Question

已知雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長為2．一條斜率為1的直線經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓與雙曲線的右準(zhǔn)線相交于M、N．
（1）若雙曲線的離心率2，求圓的半徑；
（2）設(shè)AB中點(diǎn)為H，若，求雙曲線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出雙曲線方程，將直線方程代入，求出半徑即可．
（2）設(shè)出雙曲線方程，直線方程代入化簡為一元二次方程，并根據(jù)韋達(dá)定理化簡，最后求出c
解答：解：（1）設(shè)雙曲線方程為
由題知：
∴雙曲線方程為右焦點(diǎn)F（2，0）
故直線l的方程為y=x-2代入中得：2x²+4x-7=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∴
∴半徑r=3

（2）設(shè)雙曲線方程為代入并整理得（c²-2）x²+2cx-2c²+1=0，
由韋達(dá)定理：
設(shè)
設(shè)圓半徑為R且的夾角為θ，
則
∴
∴中
得：c²=3，
∴所求的雙曲線方程為．
點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線綜合運(yùn)用，以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，平面向量的數(shù)量級運(yùn)算，通過對多種知識的綜合理解，考查對知識的綜合運(yùn)用能力，屬于中檔題．