【題目】在三棱錐A-BCD中,平面ABC丄平面ADC, AD丄AC,AD=AC, ,若此三棱錐的外接球表面積為,則三棱錐A-BCD體積的最大值為( )
A.7B.12C.6D.
【答案】C
【解析】
設(shè)三棱錐A﹣BCD外接球的半徑為R,三棱錐的外接球球心為O,△ABC的外心為O1,△ABC的外接圓半徑為r,取DC的中點(diǎn)為O2,過(guò)O2作O2E⊥AC,則OO1⊥平面ABC,OO2⊥平面ADC,連結(jié)OA,O1A,則O1A=r,設(shè)AD=AC=b,則OO1=O2Eb,由S=4πR2=28π,解得R,由正弦正理求出b,若三棱錐A﹣BCD的體積最大,則只需△ABC的面積最大,由此能求出三棱錐A﹣BCD的體積的最大值.
根據(jù)題意,設(shè)三棱錐A﹣BCD外接球的半徑為R,
三棱錐的外接球球心為O,
△ABC的外心為O1,△ABC的外接圓半徑為r,
取DC的中點(diǎn)為O2,過(guò)O2作O2E⊥AC,
則OO1⊥平面ABC,OO2⊥平面ADC,
如圖,連結(jié)OA,O1A,則O1A=r,
設(shè)AD=AC=b,則OO1=O2Eb,
由S=4πR2=28π,解得R,
在△ABC中,由正弦正理得2r,
∴2r,解得b,
在Rt△OAO1中,7=r2+()2,解得r=2,b=2,∴AC=2,
若三棱錐A﹣BCD的體積最大,則只需△ABC的面積最大,
在△ABC中,AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos∠ABC,
∴12=AB2+BC2﹣ABBC≥2ABBC﹣ABBC,
解得ABBC≤12,
∴3,
∴三棱錐A﹣BCD的體積的最大值:
6.
故選:C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在三棱柱中,平面是線段上的動(dòng)點(diǎn),是線段上的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若,且直線所成角的余弦值為,試指出點(diǎn)在線段上的位置,并求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)在上有意義,實(shí)數(shù)和滿足,若在區(qū)間上不存在最小值,則稱在上具有性質(zhì).
(1)當(dāng),且在區(qū)間上具有性質(zhì)時(shí),求常數(shù)的取值范圍;
(2)已知,且當(dāng),,判斷在區(qū)間上是否具有性質(zhì),請(qǐng)說(shuō)明理由:
(3)若對(duì)于滿足的任意實(shí)數(shù)和,在上具有性質(zhì)時(shí),且對(duì)任意,當(dāng)時(shí)有:,證明:當(dāng)時(shí),.
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【題目】已知數(shù)列滿足:(常數(shù)),.數(shù)列滿足:.
(1)求的值;
(2)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)問(wèn):數(shù)列的每一項(xiàng)能否均為整數(shù)?若能,求出k的所有可能值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知點(diǎn)及線段,在線段上任取一點(diǎn),線段長(zhǎng)度的最小值稱為“點(diǎn)到線段的距離”,記為.
(1)設(shè)點(diǎn),線段 ,求;
(2)設(shè), , , ,線段,線段,若點(diǎn)滿足,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出該函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,右頂點(diǎn)為,且過(guò)點(diǎn),圓是以線段為直徑的圓,經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與圓相切.
(1)求橢圓及圓的方程;
(2)是否存在直線,使得直線與圓相切,與橢圓交于兩點(diǎn),且滿足?若存在,請(qǐng)求出直線的方程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】經(jīng)過(guò)多年的運(yùn)作,“雙十一”搶購(gòu)活動(dòng)已經(jīng)演變成為整個(gè)電商行業(yè)的大型集體促銷盛宴.為迎接2018年“雙十一”網(wǎng)購(gòu)狂歡節(jié),某廠家擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi),對(duì)網(wǎng)上所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷.經(jīng)調(diào)查測(cè)算,該促銷產(chǎn)品在“雙十一”的銷售量p萬(wàn)件與促銷費(fèi)用x萬(wàn)元滿足(其中,a為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬(wàn)元(不含促銷費(fèi)用),每一件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為元,假定廠家的生產(chǎn)能力完全能滿足市場(chǎng)的銷售需求.
(1)將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù);
(2)促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn)的值.
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【題目】已知,,順次是橢圓:的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn),橢圓的離心率,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)若斜率的直線過(guò)點(diǎn),直線與橢圓交于,兩點(diǎn),試判斷:以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)點(diǎn),并證明你的結(jié)論.
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