Question

已知函數(shù)f（x）=x•（1+lnx）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及其在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若k∈Z，且k（x-1）＜f（x）對(duì)任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)在x=1處的切線，可得切線方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x+xlnx，所以k（x-1）＜f（x）對(duì)任意x＞1恒成立，即k＜

x+xlnx

x-1

對(duì)任意x＞1恒成立，求出右邊函數(shù)的最小值，即可求k的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒'（x）=lnx+2，
令f'（x）＞0，得x＞

1

e2

；令f'（x）＜0，得0＜x＜

1

e2

；
所以f（x）的遞增區(qū)間為(

1

e2

，+∞)，f（x）的遞減區(qū)間為(0，

1

e2

)．…（3分）
因?yàn)閒'（1）=2，f（1）=1，
所以函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程y=2x-1；…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x+xlnx，所以k（x-1）＜f（x）對(duì)任意x＞1恒成立，
即k＜

x+xlnx

x-1

對(duì)任意x＞1恒成立．…（6分）
令g(x)=

x+xlnx

x-1

，則g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

，…（7分）
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），則h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，
所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．…（8分）
因?yàn)閔（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實(shí)根x₀，且滿足x₀∈（3，4）．
當(dāng)1＜x＜x₀時(shí)，h（x）＜0，即g'（x）＜0，當(dāng)x＞x₀時(shí)，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（10分）
所以函數(shù)g(x)=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
所以[g(x)]min=g(x0)=

x0(1+lnx0)

x0-1

=

x0(1+x0-2)

x0-1

=x0∈(3，4)．…（12分）
所以k＜[g（x）]_min=x₀∈（3，4）．
故整數(shù)k的最大值是3．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查函數(shù)的最值，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．