Question

如圖，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)P和居民區(qū)O的公路，點(diǎn)P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ（0°＜θ＜90°），且sinθ=，點(diǎn)P到平面α的距離PH=0.4（km）。沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用，從點(diǎn)O到山腳修路的造價(jià)為a萬元/km，原有公路改建費(fèi)用為萬元/km。當(dāng)山坡上公路長度為lkm（1≤l≤2）時(shí)，其造價(jià)為（l²+1）a萬元。已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），OA=（km），
（Ⅰ）在AB上求一點(diǎn)D，使沿折線PDAD修建公路的總造價(jià)最��；
（Ⅱ）對于（Ⅰ）中得到的點(diǎn)D，在DA上求一點(diǎn)E，使沿折線PDEO修建公路的總造價(jià)最��；
（Ⅲ）在AB上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)D′、E′，使沿折線PD′E′O修建公路的總造價(jià)小于（Ⅱ）中得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（I）如圖，PH⊥α，HB，PB⊥AB， 由三垂線定理逆定理知，AB⊥HB， 所以∠PBH是山坡面與α所成二面角的平面角， 則∠PBH=， 設(shè)BD=x(km)，0≤x≤1.5， 則， 記總造價(jià)為萬元， 據(jù)題設(shè)有 ， 當(dāng)(km)時(shí)總造價(jià)最小。

（Ⅱ）設(shè)AE=y(km)，0≤y≤，總造價(jià)為萬元， 根據(jù)題設(shè)有 ， 則， 由，得y=1， 當(dāng)y∈（0，1）時(shí)， 在（0，1）內(nèi)是減函數(shù)； 當(dāng)內(nèi)是增函數(shù)； 故當(dāng)y=1，即AE=1(km)時(shí)總造價(jià)最小， 且最小總造價(jià)為萬元。 （Ⅲ）不存在這樣的點(diǎn)D′、E′。 事實(shí)上，在AB上任取不同的兩點(diǎn)D′、E′。 為使總造價(jià)最小，E′顯然不能位于D′與B之間， 故可設(shè)E′位于D′與A之間， 且，0≤x1+y1≤， 總造價(jià)為S萬元， 則， 類似于（I）、（II）的討論知，， 當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)成立時(shí)， 上述兩個(gè)不等式等號同時(shí)成立， 此時(shí)(km)，AE′=1(km)，S取得最小值， 點(diǎn)D′、E′分別與點(diǎn)D、E重合； 所以不存在這樣的點(diǎn)D′、E′，使沿折線PD′E′O修建公路的總造價(jià)小于（II）中得到的最小總造價(jià)。