Question

已知線段MN的兩個端點M、N分別在x軸、y軸上滑動，且|MN|=4，點P在線段MN上，滿足

MP

=m

MN

（0＜m＜1），記點P的軌跡為曲線W．
（1）求曲線W的方程，并討論W的形狀與m的值的關系；
（2）當m=

1

4

時，設A、B是曲線W與x軸、y軸的正半軸的交點，過原點的直線與曲線W交于C、D兩點，其中C在第一象限，求四邊形ACBD面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設M（a，0）、N（0，b）、P（x，y），根據(jù)

MP

=m

MN

的坐標關系列式，解出用x、y表示a、b的式子，結(jié)合a²+b²=16代入并化簡整理即可得到曲線W的方程為

x2

16(1-m)2

+

y2

16m2

=1．再根據(jù)m值與

1

2

的大小關系進行討論，即可得到各種情況下曲線W的形狀；
（2）由（1）得當m=

1

4

時，曲線W表示橢圓：

x2

9

+y2=1，可得A、B兩點的坐標．設C（x₁，y₁），D（-x₁，-y₁），結(jié)合圖形將四邊形ACBD面積表示成四個三角形面積之和，代入數(shù)據(jù)得到S_{四邊形ACBD}=x₁+3y₁，最后根據(jù)橢圓方程并利用基本不等式，算出當且僅當x₁=

3 2

2

且y₁=

2

2

時，四邊形ABCD面積有最大值3

2

．

解答：解：（1）設M（a，0），N（0，b），P（x，y），則a²+b²=|MN|²=16，
而由

MP

=m

MN

有：（x-a，y）=m（-a，b），解得：

a= x 1-m b= y m

，代入得：

x2

16(1-m)2

+

y2

16m2

=1．
當0＜m＜

1

2

時，曲線W的方程為

x2

16(1-m)2

+

y2

16m2

=1，表示焦點在x軸上的橢圓；
當m=

1

2

時，曲線W的方程為x²+y²=4，W為以原點為圓心、半徑為2的圓；
當

1

2

＜m＜1時，曲線W的方程為

y2

16m2

+

x2

16(1-m)2

=1，表示焦點在y軸上的橢圓．
（2）由（1）當m=

1

4

時，曲線W的方程是

x2

9

+y2=1，可得A（3，0），B（0，1）．
設C（x₁，y₁），則x₁＞0，y₁＞0，
由對稱性可得D（-x₁，-y₁）．
因此，S_{四邊形ACBD}=S_△BOC+S_△BOD+S_△AOC+S_△AOD
=

1

2

|BO|（x₁+x₁）+

1

2

|AO|（y₁+y₁），
即S_{四邊形ACBD}=x₁+3y₁，而

x12

9

+y12=1，即x12+(3y1)2=9，
所以S_{四邊形ACBD}=x₁+3y₁≤2

x12+(3y1)2 2

=3

2

當且僅當

x12 9 +y12=1 x1=3y1

時，即x₁=

3 2

2

且y₁=

2

2

時取等號，
故當C的坐標為（

3 2

2

，

2

2

）時，四邊形ABCD面積有最大值3

2

點評：本題給出動點P，求點P的軌跡方程并討論相應曲線的形狀，探索了四邊形面積的最大值．著重考查了軌跡方程的求法、橢圓的簡單幾何性質(zhì)和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．