Question

已知線段MN的兩個端點(diǎn)M、N分別在x軸、y軸上滑動，且|MN|=4，點(diǎn)P在線段MN上，滿足

MP

=m

MN

（0＜m＜1），記點(diǎn)P的軌跡為曲線W．
（1）求曲線W的方程，并討論W的形狀與m的值的關(guān)系；
（2）當(dāng)m=

1

4

時，設(shè)A、B是曲線W與x軸、y軸的正半軸的交點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與曲線W交于C、D兩點(diǎn)，其中C在第一象限，求四邊形ACBD面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（a，0）、N（0，b）、P（x，y），根據(jù)

MP

=m

MN

的坐標(biāo)關(guān)系列式，解出用x、y表示a、b的式子，結(jié)合a²+b²=16代入并化簡整理即可得到曲線W的方程為

x2

16(1-m)2

+

y2

16m2

=1．再根據(jù)m值與

1

2

的大小關(guān)系進(jìn)行討論，即可得到各種情況下曲線W的形狀；
（2）由（1）得當(dāng)m=

1

4

時，曲線W表示橢圓：

x2

9

+y2=1，可得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．設(shè)C（x₁，y₁），D（-x₁，-y₁），結(jié)合圖形將四邊形ACBD面積表示成四個三角形面積之和，代入數(shù)據(jù)得到S_{四邊形ACBD}=x₁+3y₁，最后根據(jù)橢圓方程并利用基本不等式，算出當(dāng)且僅當(dāng)x₁=

3 2

2

且y₁=

2

2

時，四邊形ABCD面積有最大值3

2

．

解答：解：（1）設(shè)M（a，0），N（0，b），P（x，y），則a²+b²=|MN|²=16，
而由

MP

=m

MN

有：（x-a，y）=m（-a，b），解得：

a= x 1-m b= y m

，代入得：

x2

16(1-m)2

+

y2

16m2

=1．
當(dāng)0＜m＜

1

2

時，曲線W的方程為

x2

16(1-m)2

+

y2

16m2

=1，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
當(dāng)m=

1

2

時，曲線W的方程為x²+y²=4，W為以原點(diǎn)為圓心、半徑為2的圓；
當(dāng)

1

2

＜m＜1時，曲線W的方程為

y2

16m2

+

x2

16(1-m)2

=1，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．
（2）由（1）當(dāng)m=

1

4

時，曲線W的方程是

x2

9

+y2=1，可得A（3，0），B（0，1）．
設(shè)C（x₁，y₁），則x₁＞0，y₁＞0，
由對稱性可得D（-x₁，-y₁）．
因此，S_{四邊形ACBD}=S_△BOC+S_△BOD+S_△AOC+S_△AOD
=

1

2

|BO|（x₁+x₁）+

1

2

|AO|（y₁+y₁），
即S_{四邊形ACBD}=x₁+3y₁，而

x12

9

+y12=1，即x12+(3y1)2=9，
所以S_{四邊形ACBD}=x₁+3y₁≤2

x12+(3y1)2 2

=3

2

當(dāng)且僅當(dāng)

x12 9 +y12=1 x1=3y1

時，即x₁=

3 2

2

且y₁=

2

2

時取等號，
故當(dāng)C的坐標(biāo)為（

3 2

2

，

2

2

）時，四邊形ABCD面積有最大值3

2

點(diǎn)評：本題給出動點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程并討論相應(yīng)曲線的形狀，探索了四邊形面積的最大值．著重考查了軌跡方程的求法、橢圓的簡單幾何性質(zhì)和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．