Question

已知函數(shù)．（a≠0）
（1）若函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，且，x₁x₃=-12，求函數(shù) y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，3a＞2c＞2b，試問：導(dǎo)函數(shù)f′（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)是否有零點(diǎn)，并說明理由．
（3）在（Ⅱ）的條件下，若導(dǎo)函數(shù)f′（x）的兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離不小于，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，及，x₁x₃=-12，可得，從而x₁，x₃是方程的兩根，
由韋達(dá)定理可用a把b，c表示出來，讓后按a的符號(hào)分情況解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）由可得a，b，c間的關(guān)系式，再由3a＞2c＞2b可判斷a，b的符號(hào)，根據(jù)零點(diǎn)存在條件分情況討論即可；
（3）設(shè)m，n是導(dǎo)函數(shù)f'（x）=ax²+bx+c的兩個(gè)零點(diǎn)，則，，|m-n|可用a，b表示出來，根據(jù)已知可得不等式得的一范圍，
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，由此可得的又一范圍，兩者取交集即可得到的取值范圍．
解答：解（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123557375578018/SYS201310251235573755780020_DA/10.png">，又，x₁x₃=-12，
所以，
因?yàn)閤₁，x₃是方程的兩根，
所以，，即b=-3a，c=-4a，
從而：，
所以f′（x）=ax²-3ax-4a=a（x-4）（x+1）．
令  f′（x）=0解得：x=-1，x=4，
當(dāng)a＞0時(shí)，y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，4），單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1），（4，+∞）．
當(dāng)a＜0時(shí)，y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，4），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-1），（4，+∞）．
（2）因?yàn)閒'（x）=ax²+bx+c，，
所以，即3a+2b+2c=0．
因?yàn)?a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
于是，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
①當(dāng)c＞0時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123557375578018/SYS201310251235573755780020_DA/20.png">，
則f'（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．
②當(dāng)c≤0時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123557375578018/SYS201310251235573755780020_DA/21.png">，
則f'（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點(diǎn)．
故導(dǎo)函數(shù)f'（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．
（3）設(shè)m，n是導(dǎo)函數(shù)f'（x）=ax²+bx+c的兩個(gè)零點(diǎn)，則，．
所以．
由已知，，則，即．
所以，即或．
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，即．
因?yàn)閍＞0，所以．
綜上所述，的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．