Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lg（x+

x2+1

）．
（1）確定函數(shù)f （x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f （x）的奇偶性；
（3）證明函數(shù)f （x）在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)；
（4）求函數(shù)f（x）的反函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求定義域．（2）利用奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性．（3）利用定義法證明單調(diào)性．（4）利用求反函數(shù)的方法求反函數(shù)．

解答：解：（1）要使函數(shù)有意義，則x+

x2+1

＞0，因?yàn)?span id="hwc99zq" class="MathJye">

x2+1

＞

x2

=|x|，所以x+

x2+1

＞0恒成立，所以定義域?yàn)镽．
（2）f(-x)=lg?(-x+

x2+1

)=lg?

1

x+ x2+1

=lg?(x+

x2+1

)-1=-lg?(x+

x2+1

)=-f(x)，所以函數(shù)是奇函數(shù)．
（3）設(shè)x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=lg?

x1+ x 2 1 +1

x2+ x 2 2 +1

．令t=x+

x2+1

，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以當(dāng)
則當(dāng)0≤x₁＜x₂時(shí)，有x12＜x22，所以

x 2 1 +1

＜

x 2 2 +1

，即x1+

x 2 1 +1

＜x2+

x 2 2 +1

，所以0＜

x1+ x 2 1 +1

x2+ x 2 2 +1

＜1，即
lg

x1+ x 2 1 +1

x2+ x 2 2 +1

＜0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以函數(shù)f （x）在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)．
（4）由y=lg?(x+

x2+1

)得x+

x2+1

=10y，即

x2+1

=10y-x，平方得x²+1=10^2y-2x?10^y+x²，解得x=

102y-1

2?10y

，
所以原函數(shù)的反函數(shù)為y=f-1(x)=

102x-1

2?10x

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，奇偶性，單調(diào)性的判斷和證明以及與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的反函數(shù)的求法，按照相關(guān)性質(zhì)的定義去證明即可．