Question

如果函數(shù)f（x）滿足在集合N^*上的值域仍是集合N^*，則把函數(shù)f（x）稱為N函數(shù)．例如：f（x）=x就是N函數(shù)．
（Ⅰ）判斷下列函數(shù)：①y=x²，②y=2x-1，③y=[

x

]中，哪些是N函數(shù)？（只需寫出判斷結(jié)果）；
（Ⅱ）判斷函數(shù)g（x）=[lnx]+1是否為N函數(shù)，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)f（x）=[b•a^x]都不是N函數(shù)．
（注：“[x]”表示不超過x的最大整數(shù)）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由N函數(shù)得定義，結(jié)合給出的三個(gè)函數(shù)解析式，直接判斷出函數(shù)y=x²，y=2x-1不是N函數(shù)，函數(shù)y=[

x

]是N函數(shù)；
（Ⅱ）證明對(duì)?x∈N^*，[lnx]+1∈N^*．同時(shí)證明對(duì)?[lnx]+1∈N^*，總存在x∈N^*，滿足[lnx]+1∈N^*；
（Ⅲ）對(duì)a，b分類證明，當(dāng)b≤0，b＞0且a≤0時(shí)舉特值驗(yàn)證，當(dāng)b＞0且0＜a≤1時(shí)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)證明，當(dāng)b＞0且a＞1時(shí)，總能找到一個(gè)正整數(shù)k，使得b•a^k到b•a^k+1之間有一些正整數(shù)，從而說明函數(shù)f（x）=[b•a^x]都不是N函數(shù)．

解答：（Ⅰ）解：只有y=[

x

]是N函數(shù)．
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=[lnx]+1是N函數(shù)．
證明如下：
顯然，?x∈N^*，[lnx]+1∈N^*．
不妨設(shè)[lnx]+1=k，k∈N^*，
由[lnx]+1=k，可得k-1≤lnx＜k，
即1≤e^k-1≤x＜e^k．
∵?k∈N^*，恒有e^k-e^k-1=e^k-1（e-1）＞1成立，
∴一定存在x∈N^*，滿足e^k-1≤x＜e^k，
∴設(shè)?k∈N^*，總存在x∈N^*，滿足[lnx]+1=k，
∴函數(shù)g（x）=[lnx]+1是N函數(shù)；
（Ⅲ）證明：（1）當(dāng)b≤0時(shí)，有f（2）=[b•a²]≤0，
∴函數(shù)f（x）=[b•a^x]都不是N函數(shù)．
（2）當(dāng)b＞0時(shí)，①若a≤0，有f（1）=[b•a]≤0，
∴函數(shù)f（x）=[b•a^x]都不是N函數(shù)．
②若0＜a≤1，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)易得，b•a^x≤b•a，
∴?x∈N^*，都有f（x）=[b•a^x]≤[b•a]．
函數(shù)f（x）=[b•a^x]都不是N函數(shù)．
③若a＞1，令b•a^m+1-b•a^m＞2，則m＞loga

2

b(a-1)

，
∴一定存在正整數(shù)k，使得b•a^k+1-b•a^k＞2，
∴?n1，n2∈N*，使得b•ak＜n1＜n2＜b•ak+1，
∴f（k）＜n₁＜n₂≤f（k+1）．
又∵當(dāng)x＜k時(shí)，b•a^x＜b•a^k，∴f（x）≤f（k）；
當(dāng)x＞k+1時(shí)，b•a^x＞b•a^k，∴f（x）≥f（k+1），
∴?x∈N^*，都有n₁∉{f（x）|x∈N^*}，
∴函數(shù)f（x）=[b•a^x]都不是N函數(shù)．
綜上所述，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)f（x）=[b•a^x]都不是N函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，考查了函數(shù)的值域，解答的關(guān)鍵是學(xué)生對(duì)新定義N函數(shù)的理解，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是有一定難度的題目．