Question

如圖在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，棱AB，BC，BB₁兩兩垂直長度相等，點P在線段A₁C₁上運動，異面直線BP與B₁C所成的角為θ，則θ的取值范圍是

[

π

3

，

π

2

)

．

Answer 1

分析：建立空間直角坐標系，設棱長為1，設P（-a，1-a，1）（0＜a≤1），則

BP

=（-a，1-a，1），

B1C

=（0，1，-1），利用向量的夾角公式，即可求得結論．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標系，設棱長為1，

則B（0，0，0），C（0，1，0），B₁（0，0，1）
設P（-a，1-a，1）（0＜a≤1），則

BP

=（-a，1-a，1），

B1C

=（0，1，-1）
∴cosθ=|

BP • B1C

| BP || B1C |

|=|

-a

2a2-2a+2 × 2

|=

1

2

×

1

a+ 1 a -1

≤

1

2

∵0＜θ＜

π

2

∴

π

3

≤θ＜

π

2

∴θ的取值范圍是[

π

3

，

π

2

)．
故答案為[

π

3

，

π

2

)

點評：本題考查線線角，考查利用向量知識解決空間角問題，屬于中檔題．