Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2011，公比q=-

1

2

，數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和記為S_n，前n項(xiàng)積記為T(mén)_n．
（1）證明：S₂≤S_n≤S₁；
（2）判斷T_n與T_n+1的大小，并求n為何值時(shí)，T_n取得最大值；
（3）證明：若數(shù)列{a_n}中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列，則總可以使其成等差數(shù)列；若所有這些等差數(shù)列的公差按從小到大的順序依次記為d₁，d₂，…，d_n，則數(shù)列{d_n}為等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）由題設(shè)知Sn=S1+

a2[1-(- 1 2 )n-1]

1-(- 1 2 )

=S1-

1

3

a1[1-(-

1

2

)n-1]≤S1，由此能夠證明S₂≤S_n≤S₁．
（2）由

|Tn+1|

|Tn|

=

a1a2…anan+1

a1a2…an

=|a_n+1|=

2011

2n

，知|T_n|_max=|T₁₁|，由此能夠推導(dǎo)出n為何值時(shí)，T_n取得最大值．
（3）由an=2011（-

1

2

）^n-1，知|a_n|隨n增大而減小，a_n奇數(shù)項(xiàng)均正，偶數(shù)項(xiàng)均負(fù)．由此進(jìn)行分類(lèi)討論，能夠證明數(shù)列{d_n}為等比數(shù)列．

解答： （1）證：Sn=S1+

a2[1-(- 1 2 )n-1]

1-(- 1 2 )

=S1-

1

3

a1[1-(-

1

2

)n-1]≤S1，
當(dāng)n=1時(shí)，等號(hào)成立…2分
Sn=S2+

a3[1-(- 1 2 )n-2]

1-(- 1 2 )

=S2+

1

6

a1[1-(-

1

2

)n-2]≥S2，
當(dāng)n=2時(shí)，等號(hào)成立
∴S₂≤S_n≤S₁．…4分
（2）解：∵

|Tn+1|

|Tn|

=

a1a2…anan+1

a1a2…an

=|a_n+1|=

2011

2n

，
∴當(dāng)n≤10時(shí)，|T_n+1|＞|T_n|，
當(dāng)n≥11時(shí)，|T_n+1|＜|T_n|，
故|T_n|_max=|T₁₁|…7分
又T₁₀＜0，T₁₁＜0，T₉＞0，T₁₂＞0，
∴T_n的最大值是T₉和T₁₂中的較大者，
∵

T12

T9

=a₁₀a₁₁a₁₂=[2011（-

1

2

）¹⁰]³＞1，
∴T₁₂＞T₉
因此當(dāng)n=12時(shí)，T_n最大．…10分
（3）證：∵an=2011（-

1

2

）^n-1，
∴|a_n|隨n增大而減小，a_n奇數(shù)項(xiàng)均正，偶數(shù)項(xiàng)均負(fù)
①當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，設(shè){a_n}中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列為a_k+1，a_k+2，a_k，
則ak+1+ak=a1(-

1

2

)k+a1(-

1

2

)k-1=

a1

2k

，2ak+2=2a1(-

1

2

)k+1=

a1

2k

，
∴a_k+1+a_k=2a_k+2，因此a_k+1，a_k+2，a_k成等差數(shù)列，
公差dk=ak+2-ak+1=a1[(-

1

2

)k+1-(-

1

2

)k]=

3a1

2k+1

…12分
②當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，設(shè){a_n}中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列為a_k，a_k+2，a_k+1，
則ak+1+ak=a1(-

1

2

)k+a1(-

1

2

)k-1=-

a1

2k

，2ak+2=2a1(-

1

2

)k+1=-

a1

2k

，
∴a_k+1+a_k=2a_k+2，因此a_k，a_k+2，a_k+1成等差數(shù)列，
公差dk=ak+2-ak=a1[(-

1

2

)k+1-(-

1

2

)k-1]=

3a1

2k+1

…14分
綜上可知，{a_n}中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列，總可以使其成等差數(shù)列，且dk=

3a1

2k+1

∵

dn-1

dn

=2，
∴數(shù)列{d_n}為等比數(shù)列．…16分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列、不等式知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．