分析:(1)欲證A1C⊥B1C1,即證線面垂直,為了要證明線面垂直,即要證線線垂直,其中利用勾股定理證明AC⊥BC即可;
(2)利用空間向量的坐標(biāo)法求解,先建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),利用點(diǎn)B1到平面A1BC的距離公式求解;
(3)先求出平面A1BC1的一個(gè)法向量,再利用兩個(gè)向量的夾角公式求解二面角C1-A1B-C的大小即可.
解答:證明:(1)在△ABC中,BC
2=16+4-2×4×2×cos60
0=12,(2分)
∵AB
2=AC
2+BC
2,
∴AC⊥BC,
∵A
1A⊥平面ABC,
∴A
1C⊥BC,
∵B
1C
1∥BC,
∴A
1C⊥B
1C
1.(4分)
(2)由(1)知,AC⊥BC.建立如圖直角坐標(biāo)系,
則A
1(2,0,2),
B(0 , 2 , 0)B1(0 , 2 , 2)易求得,平面A
1BC的一個(gè)法向量
=(1 , 0 , -1),
∴點(diǎn)B
1到平面A
1BC的距離
d==.(8分)
(3)可求得平面A
1BC
1的一個(gè)法向量
=(0 , 1 , ),
cos<,>==-,
∴二面角C
1-A
1B-C的大小是
arccos.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系,以及空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.