Question

5．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
（1）若f（-1）=0，試判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若對(duì)任意的x₁，x₂ ∈R．且x₁＜x₂ ，f（x₁）≠f（x₂），試證明存在x₀∈（x₁，x₂ ），使得f（x₀）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]成立．

Answer 1

分析 （1）由f（-1）=0可求得b=a+c，利用△=（a-c）²分析判斷即可；
（2）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，可證得g（x₁）g（x₂）＜0，由零點(diǎn)存在定理可知存在x₀∈（x₁，x₂），使f（x₀）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]成立．

解答 （1）解：∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0，則b=a+c，
∵△=b²-4ac=（a-c）²，
∴當(dāng)a=c時(shí)，△=0，此函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a≠c時(shí)，△＞0．函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
（2）證明：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，則
g（x₁）=f（x₁）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]
=$\frac{1}{2}$[f（x₁）-f（x₂）]g（x₂）
=f（x₂）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]
=$\frac{1}{2}${f（x₂）-f（x₁）}，
∵f（x₁）≠f（x₂）
∴g（x₁）g（x₂）＜0，所以g（x）=0在（x₁，x₂）內(nèi)必有一個(gè)實(shí)根，
即存在x₀∈（x₁，x₂）使f（x₀）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，考查化歸思想與構(gòu)造函數(shù)的思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．