Question

已知函數
（1）若上的最大值；
（2）若對任意x∈（0，a）時，恒有ma-f（x）＞1成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）=，令f′（x）=0，得，x₂=a．由此進行分類討論，能求出函數f（x）的最大值．
（2）由（1）知：當a=時，函數f（x）在（0，a），即（0，）上單調遞增；a時，函數f（x）在（0，a）上的最大值為f（）．故“恒有ma-f（x）＞1成立”等價于“ma-1＞f（）恒成立”，由此能求出實數m的取值范圍．
解答：解：（1）=，
令f′（x）=0，得，x₂=a．
∵a，∴由f′（x）＞0，得函數f（x）在（0，）上單調遞增，
由f′（x）＜0得函數f（x）在（）上單調遞減．
∴函數f（x）的最大值為f（）==aln-a-．
（2）由（1）知：
當①a=時，函數f（x）在（0，a），即（0，）上單調遞增；
②a時，函數f（x）在（0，a）上的最大值為f（）．
∴“恒有ma-f（x）＞1成立”等價于“ma-1＞f（）恒成立”，
即ma-1＞f（）=aln-a-，
∴m＞ln-1+．
∵a，∴l(xiāng)n的最大值為，
∴實數m的取值范圍為{m|m＞}．
點評：本題考查函數最大值的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，考查推理論證能力、運算推導能力、等價轉化能力、分類討論能力．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質的靈活運用．