Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，且a_n+1=2-

1

an

，n∈N^*．
（1）設(shè)b_n=

1

an-1

，求證：{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)c_n=a_n+

1

an

，求證：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+1，n∈N^*．

Answer 1

（1）∵a₁=2，且a_n+1=2-

1

an

，n∈N^*．
∴a₂=2-

1

2

=

3

2

，
a3=2-

2

3

=

4

3

，
a4=1-

3

4

=

5

4

，
…
猜想an=

n+1

n

．
用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：
①a1=

2

1

=2，成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，成立，即ak=

k+1

k

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=2-

1

ak

=2-

k

k+1

=

k+2

k+1

，成立．
由①②知，an=

n+1

n

．
∵b_n=

1

an-1

，
∴b_n+1-b_n=

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

1- 1 an

-

1

1- 1 an-1

=

1

1- n n+1

-

1

1- n-1 n

=（n+1）-n=1，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（2））∵a₁=2，且a_n+1=2-

1

an

，n∈N^*．
∴a₂=2-

1

2

=

3

2

，
a3=2-

2

3

=

4

3

，
a4=1-

3

4

=

5

4

，
…
猜想an=

n+1

n

．
用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：
①a1=

2

1

=2，成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，成立，即ak=

k+1

k

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=2-

1

ak

=2-

k

k+1

=

k+2

k+1

，成立．
由①②知，an=

n+1

n

．
（3）∵c_n=a_n+

1

an

，an=

n+1

n

，
∴cn=

n+1

n

+

n

n+1

= 2+

1

n

 -

1

n+1

，
∴c₁+c₂+…+c_n=2n+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=2n+1-

1

n+1

＜2n+1．
∵c₁+c₂+…+c_n=2n+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=2n+1-

1

n+1

=2n+

n

n+1

＞2n．
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+1，n∈N^*．