已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1•an=n，n∈N*．
（1）求a2，a3，a4的值，并證明：an+2=
1
an+1
+an； 
（2）證明：2
n
-1≤
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜3
n
-1．
（1）由題意得a2=
1
a1
=1，a3=
2
a2
=2，a4=
3
a3
=
3
2
，下面證明：an+2=
1
an+1
+an，
1
an+1
+an=
1+anan+1
an+1
=
n+1
an+1
=an+2；
證明：（2）先證2
n
-1≤
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
，
由（1）知
1
an
=an+1-an-1，
1
an-1
=an-an-2，…，
1
a3
=a4-a2，
1
a2
=a3-a1，
1
a1
=1，
將以上式子相加得：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=an+1+an-a2-a1+1=an+1+an-1≥2
an+1an
-1=2
n
-1；
為證
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜3
n
-1，先證
3-
5
2
n
≤an≤
3+
5
2
n-1
（n≥2，n∈N*），
用數(shù)學(xué)歸納法：
①當(dāng)n=2時，a2=1，結(jié)論顯然成立；
②假設(shè)n=k時，
3-
5
2
k
≤ak≤
3+
5
2
k-1
成立，
則當(dāng)n=k+1時，由ak+1ak=k?ak=
k
ak+1
，
由歸納假設(shè)有
3-
5
2
k
≤ak≤
3+
5
2
k-1
?
3-
5
2
•
k
k-1
≤ak+1≤
3+
5
2
k
，
因為
k
k-1
≥
k+1
，所以
3-
5
2
k+1
≤ak+1≤
3+
5
2
k
也成立，
綜上，
3-
5
2
n
≤an≤
3+
5
2
n-1
＜
3+
5
2
n
（n≥2，n∈N*），
所以，當(dāng)n≥2時，
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=an+1+an-1=
n
an
+an-1＜
n
3+
5
2
n
+
3+
5
2
n
-1=3
n
-1，
又n=1時，顯然有
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜3
n
-1成立，
綜上所述，2
n
-1≤
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜3
n
-1．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1
．

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