Question

已知當m∈R時，函數f（x）=m（x²-1）+x-a的圖象和x軸恒有公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當m=0時，f（x）為一次函數，它的圖象與x軸恒有交點，得到a為全體實數；（2）當m≠0時，f（x）為二次函數，就是要求二次函數恒與x軸有交點，即y=0時的一元二次方程mx²+x-（m+a）=0恒有解即根的判別式4m²+4am+1恒大于等于0，即要它的根的判別式小于等于0得到關于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范圍．
解答：解：（1）m=0時，f（x）=x-a是一次函數，它的圖象恒與x軸相交，此時a∈R．
（2）m≠0時，由題意知，方程mx²+x-（m+a）=0恒有實數解，其充要條件是△=1+4m（m+a）=4m²+4am+1≥0．
又只需△′=（4a）²-16≤0，解得-1≤a≤1，即a∈[-1，1]．
∴m=0時，a∈R；m≠0時，a∈[-1，1]．
點評：考查學生靈活運用一次函數和二次函數的圖象與性質解決數學問題，會利用根的判別式判斷二次函數與x軸的交點個數．掌握函數與方程的綜合運用．