Question

20．已知函數(shù)f（x+$\frac{1}{2}$）為奇函數(shù)，g（x）=f（x）+1，即a_n=g（$\frac{n}{16}$），則數(shù)列{a_n}的前15項和為（　　）

• A． 13
• B． 14
• C． 15
• D． 16

Answer 1

分析 函數(shù)f（x+$\frac{1}{2}$）為奇函數(shù)，可得f（-x+$\frac{1}{2}$）=-f（x+$\frac{1}{2}$），即f（x）+f（1-x）=0．由g（x）=f（x）+1，可得g（x）+g（1-x）=2，即可得出a_n=g（$\frac{n}{16}$）前15項的和．

解答 解：∵函數(shù)f（x+$\frac{1}{2}$）為奇函數(shù)，
∴f（-x+$\frac{1}{2}$）=-f（x+$\frac{1}{2}$），
∴f（x）+f（1-x）=0，
∵g（x）=f（x）+1，
∴g（x）+g（1-x）=f（x）+1+f（1-x）+1=2，
即a_n=g（$\frac{n}{16}$），
則數(shù)列{a_n}的前16項和=$g（\frac{1}{16}）+g（\frac{2}{16}）$+…+$g（\frac{15}{16}）$
=$[g（\frac{1}{16}）+g（\frac{15}{16}）]$+$[g（\frac{2}{16}）+g（\frac{14}{16}）]$+…+$[g（\frac{7}{16}）+g（\frac{9}{16}）]$+$g（\frac{8}{16}）$
=2×7+1
=15．
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、“分組求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．