已知過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),求直線的方程;
(2)若線段的中垂線交軸于點(diǎn),求面積的取值范圍.
解:(1)(2) 。
【解析】
試題分析:
思路分析:(1)通過分析已知條件,確定直線的斜率存在,故可設(shè)直線方程為,通過聯(lián)立方程組 ,消去,應(yīng)用韋達(dá)定理及,建立k的方程,求解。
(2)通過設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為
確定線段的中垂線方程為,
將用k表示, ,
利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),得到,進(jìn)一步確定三角形面積的最值。
解:(1)依題意可得直線的斜率存在,設(shè)為,
則直線方程為 1分
聯(lián)立方程 ,消去,并整理得 2分
則由,得
設(shè),則 4分
5分
以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)
,解得 6分
直線的方程為,即 7分
(2)設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為
由(1)得 8分
線段的中垂線方程為 9分
令,得 11分
又由(1)知,且 或
, 13分
面積的取值范圍為 14分
考點(diǎn):直線方程,直線與拋物線的位置關(guān)系。
點(diǎn)評:中檔題,確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,一般利用“待定系數(shù)法”,涉及直線與拋物線的位置關(guān)系,往往通過聯(lián)立方程組,應(yīng)用韋達(dá)定理,簡化解題過程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省桐鄉(xiāng)市高三10月月考文科數(shù)學(xué) 題型:填空題
22.(本題滿分15分)已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸正半軸上,點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于5.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)如圖,過拋物線C的焦點(diǎn)的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點(diǎn),試證明為定值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年山東省濟(jì)寧市高三第二次月考文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分18分)已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸正半軸上,點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于5.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)如圖,過拋物線C的焦點(diǎn)的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點(diǎn),試證明為定值;
(Ⅲ)過A、B分別作拋物C的切線且交于點(diǎn)M,求與面積之和的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:山東省月考題 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分15分)
已知拋物線G的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸正半軸上,點(diǎn)P(m,4)到其準(zhǔn)線的距離等于5。
(I)求拋物線G的方程;
(II)如圖,過拋物線G的焦點(diǎn)的直線依次與拋物線G及圓交于A、C、D、B四點(diǎn),試證明為定值;
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