已知過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）若以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求直線的方程；

（2）若線段的中垂線交軸于點(diǎn)，求面積的取值范圍．

 

【答案】

解：（1）（2） 。

【解析】

試題分析：

思路分析：（1）通過分析已知條件，確定直線的斜率存在，故可設(shè)直線方程為，通過聯(lián)立方程組 ，消去，應(yīng)用韋達(dá)定理及，建立k的方程，求解。

（2）通過設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為

確定線段的中垂線方程為，

將用k表示， ，

利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到，進(jìn)一步確定三角形面積的最值。

解：（1）依題意可得直線的斜率存在，設(shè)為，

則直線方程為 1分

聯(lián)立方程 ，消去，并整理得  2分

則由，得

設(shè)，則       4分

      5分

以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)

，解得        6分

直線的方程為，即         7分

（2）設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為

由（1）得         8分

線段的中垂線方程為         9分

令，得    11分

又由（1）知，且 或

，   13分

面積的取值范圍為            14分

考點(diǎn)：直線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系。

點(diǎn)評：中檔題，確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般利用“待定系數(shù)法”，涉及直線與拋物線的位置關(guān)系，往往通過聯(lián)立方程組，應(yīng)用韋達(dá)定理，簡化解題過程。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知拋物線G的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上，點(diǎn)P（m，4）到其準(zhǔn)線的距離等于5．
（I）求拋物線G的方程；
（II）如圖，過拋物線G的焦點(diǎn)的直線依次與拋物線G及圓x2+（y-1）2=1交于A、C、D、B四點(diǎn)，試證明|AC|•|BD|為定值；
（III）過A、B分別作拋物G的切線l1，l2且l1，l2交于點(diǎn)M，試求△ACM與△BDM面積之和的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年浙江省桐鄉(xiāng)市高三10月月考文科數(shù)學(xué) 題型：填空題

22．（本題滿分15分）已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸正半軸上,點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于5．

（Ⅰ）求拋物線C的方程;

（Ⅱ）如圖,過拋物線C的焦點(diǎn)的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點(diǎn),試證明為定值;
 
（Ⅲ）過A、B分別作拋物C的切線且交于點(diǎn)M,求與面積之和的最小值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省濟(jì)寧市高三第二次月考文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本題滿分18分）已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸正半軸上,點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于5．

（Ⅰ）求拋物線C的方程;

（Ⅱ）如圖,過拋物線C的焦點(diǎn)的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點(diǎn),試證明為定值;

（Ⅲ）過A、B分別作拋物C的切線且交于點(diǎn)M,求與面積之和的最小值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：山東省月考題 題型：解答題

已知拋物線G的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上，點(diǎn)P（m，4）到其準(zhǔn)線的距離等于5．
（I）求拋物線G的方程；
（II）如圖，過拋物線G的焦點(diǎn)的直線依次與拋物線G及圓x2+（y﹣1）2=1交于A、C、D、B四點(diǎn)，試證明|AC||BD|為定值；
（III）過A、B分別作拋物G的切線l1，l2且l1，l2交于點(diǎn)M，試求△ACM與△BDM面積之和的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分15分）

        已知拋物線G的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上，點(diǎn)P（m，4）到其準(zhǔn)線的距離等于5。

   （I）求拋物線G的方程；

   （II）如圖，過拋物線G的焦點(diǎn)的直線依次與拋物線G及圓交于A、C、D、B四點(diǎn)，試證明為定值；
 
   （III）過A、B分別作拋物G的切線交于點(diǎn)M，試求面積之和的最小值。

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