Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}中，b₁=2，，n=1，2，3，…，證明：，n=1，2，3，…

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先對(duì)進(jìn)行整理可得到，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得到，進(jìn)而得到．
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)n=1時(shí)可得到b₁=a₁=2滿足條件，然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)滿足條件進(jìn)而得到當(dāng)n=k+1時(shí)再對(duì)進(jìn)行整理得到=，進(jìn)而可得證．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)：==，．
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，
即a_n的通項(xiàng)公式為，n=1，2，3，．
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（�。┊�(dāng)n=1時(shí)，因，b₁=a₁=2，所以，結(jié)論成立．
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即，
也即．
當(dāng)n=k+1時(shí)，==，
又，
所以=．
也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
根據(jù)（�。┖停áⅲ┲�，n=1，2，3，．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法--構(gòu)造法和數(shù)學(xué)歸納法的一般過(guò)程．考查綜合運(yùn)用能力和計(jì)算能力．