Question

已知數(shù)列{ a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+1，設b_n=a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）數(shù)列{c_n}滿足（n∈N^*），設T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+，…+c_nc_n+1，求證，對一切n∈N^*不等式恒成立．

Answer 1

證明：（Ⅰ）由于S_n+1=4a_n+1，①
當n≥2時，S_n=4a_n-1+1． ②
①-②得 a_n+1=4a_n-4a_n-1． 所以a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）．
又b_n=a_n+1-2a_n，所以b_n=2b_n-1．
因為a₁=1，且a₁+a₂=4a₁+1，所以a₂=3a₁+1=4． 所以b₁=a₂-2a₁=2．
故數(shù)列{b_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=2ⁿ，則c_n==（n∈N^*）．
T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1
=+
=
=-．
分析：（Ⅰ）由S_n+1=4a_n+1可得n≥2時，S_n=4a_n-1+1，兩式作差即可得一遞推式，根據(jù)b_n=a_n+1-2a_n及等比數(shù)列的定義即可證明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得b_n，進而求得c_n，利用裂項相消法可求得T_n，根據(jù)T_n表達式即可證明結論；
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合、等比數(shù)列的判定及數(shù)列求和，若{a_n}為等差數(shù)列，公差d≠0，則{}的前n項和可用列項相消法，其中=（）．