Question

【題目】平面圖形ABB1A1C1C如圖4所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC= ，A1B1=A1C1= ．現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B1C1折疊，使△ABC與△A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直，再分別連接A2A，A2B，A2C，得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題．
（Ⅰ）證明：AA1⊥BC；
（Ⅱ）求AA1的長；
（Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取BC，B1C1的中點(diǎn)為點(diǎn)O，O1 ， 連接AO，OO1 ， A1O，A1O1 ，
∵AB=AC，∴AO⊥BC
∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC
∴AO⊥平面BB1C1C
同理A1O1⊥平面BB1C1C，∴AO∥A1O1 ， ∴A、O、A1、O1共面
∵OO1⊥BC，AO⊥BC，OO1∩AO=O，∴BC⊥平面OO1A1A
∵AA1平面OO1A1A，∴AA1⊥BC；
（Ⅱ）解：延長A1O1到D，使O1D=OA，則∵O1D∥OA，∴AD∥OO1 ， AD=OO1 ，
∵OO1⊥BC，平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，平面A1B1C1∩平面BB1C1C=B1C1 ，
∴OO1⊥面A1B1C1 ，
∵AD∥OO1 ，
∴AD⊥面A1B1C1 ，
∵AD=BB1=4，A1D=A1O1+O1D=2+1=3
∴AA1= =5；
（Ⅲ）解：∵AO⊥BC，A1O⊥BC，∴∠AOA1是二面角A﹣BC﹣A1的平面角
在直角△OO1A1中，A1O=
在△OAA1中，cos∠AOA1=﹣
∴二面角A﹣BC﹣A1的余弦值為﹣ ．

【解析】（Ⅰ）證明AA1⊥BC，只需證明BC⊥平面OO1A1A，取BC，B1C1的中點(diǎn)為點(diǎn)O，O1 ， 連接AO，OO1 ， A1O，A1O1 ， 即可證得；（Ⅱ）延長A1O1到D，使O1D=OA，則可得AD∥OO1 ， AD=OO1 ， 可證OO1⊥面A1B1C1 ， 從而AD⊥面A1B1C1 ， 即可求AA1的長；（Ⅲ）證明∠AOA1是二面角A﹣BC﹣A1的平面角，在△OAA1中，利用余弦定理，可求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)和平面與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直才能正確解答此題．