Question

已知函數(shù)f（x）=（a≠0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若a=2，求證：直線3x-y+m=0不可能是函數(shù)y=f（x）圖象的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出導(dǎo)數(shù)fˊ（x），然后討論a的正負(fù)，分別在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）假設(shè)直線3x-y+m=0是函數(shù)y=f（x）圖象的切線．設(shè)切點(diǎn)為（x，y），然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程，而方程無解，總而說明直線3x-y+m=0不可能是函數(shù)y=f（x）圖象的切線．
解答：解：（1）（3分）
當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）＞0⇒-1＜x＜1，f'（x）＜0⇒x＜-1或x＞1
遞增區(qū)間為（-1，1），遞減區(qū)間為（-∞，-1），（1+∞）（5分）
當(dāng)a＜0時(shí)，遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1+∞），遞減區(qū)間為（-1，1）（7分）
（2）
假設(shè)直線3x-y+m=0是函數(shù)y=f（x）圖象的切線．設(shè)切點(diǎn)為（x，y）
則（10分）
而3x⁴+8x²+1≥1從而此方程無解
∴直線3x-y+m=0不可能是函數(shù)y=f（x）圖象的切線．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，以及切線方程的求解，屬于中檔題．