Question

已知f（x）是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對(duì)任意a，b∈R，滿足f（ab）=af（b）+bf（a），且f（2）=2，記a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

17

24

（3）若數(shù)列{b_n}滿足bn=

a 2 n

4n

，求證：

ln2

b2

+

ln3

b3

+…+

lnn

bn

＜

2( n -1)

n

(n≥2，n∈N)（注：ln2≈0.6931）

Answer 1

分析：（1）令a=2ⁿ，b=2，得f（2ⁿ⁺¹）=2ⁿf（2）+2f（2ⁿ），根據(jù)a_n=f（2ⁿ），可得a_n+1=2ⁿ•2+2a_n，從而可知數(shù)列{

an

2n

}是以1為，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，故可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)n≥4時(shí)，

1

n•2n

＜

1

3•2n

，利用放縮法可證；
（3）根據(jù)數(shù)列{b_n}滿足bn=

a 2 n

4n

，b_n=n²，利用分析法轉(zhuǎn)化為證明（lnn）²＜n（n≥2），構(gòu)造函數(shù)f（n）=（lnn）²-n（n≥2），可證f（n）單調(diào)遞減，從而得證．

解答：（1）解：令a=2ⁿ，b=2，得f（2ⁿ⁺¹）=2ⁿf（2）+2f（2ⁿ）
∵a_n=f（2ⁿ）
∴a_n+1=2ⁿ•2+2a_n，
∴

an+1

2n+1

=1+

an

2n

，且

a1

21

=

f(2)

2

=1
即數(shù)列{

an

2n

}是以1為，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列
∴

an

2n

=n，
∴a_n=n•2ⁿ
（2）證明：當(dāng)n≥4時(shí)，

1

n•2n

＜

1

3•2n

∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

+

1

8

+

1

24

+

1

3

(

1

24

+

1

25

+…+

1

2n

)=

16

24

+

1

3

[

1 24 (1- 1 2n-3 )

1- 1 2

]=

17

24

-

1

3

(

1

2

)n＜

17

24

（3）證明：∵數(shù)列{b_n}滿足bn=

a 2 n

4n

，
∴b_n=n²，
要證：

ln2

b2

+

ln3

b3

+…+

lnn

bn

＜

2( n -1)

n

(n≥2，n∈N)
即證：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜2(1-

1

n

)(n≥2，n∈N)
即證：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]
即證：

lnn

n2

＜2(

1

n-1

-

1

n

)
即證：

lnn

n2

＜

2( n - n-1 )

n n-1

即證：

lnn

n2

＜

2( n - n-1 )

n n

即證：

lnn

n

＜2(

n

-

n-1

)
即證：

lnn

n

＜

2

n + n-1

即證：lnn＜

2n

n + n-1

即證：lnn＜

2n

2 n

即證：lnn＜

n

（n≥2）
即證：（lnn）²＜n（n≥2）
即證：f（n）=（lnn）²-n（n≥2）
f′(n)=2(lnn)×

1

n

-1=

2lnn-n

n

令g（n）=2lnn-n  可得g′(n)=

2-n

n

≤0
所以g（n）單調(diào)遞減，所以g（n）≤g（2）=2ln2-2＜0
所以f′（n）＜0，所以f（n）單調(diào)遞減
所以f（n）≤f（2）=（ln2）²-2＜0
故得證．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查構(gòu)造法證明等差數(shù)列，考查放縮法、分析法證明不等式，綜合性強(qiáng)，難度較大．