Question

8．若不等式（-1）ⁿ•a＜n+$\frac{9•（-1）^{n+1}}{n+1}$對任意n∈N^*恒成立，則實數a的取值范圍是（$-\frac{21}{4}，-1$）．

Answer 1

分析 按照n為奇數，偶數兩種情況討論，分離出參數a后化為函數最值問題求解即可．

解答 解：①當n為奇數時，設n=2k-1（k∈N^*）
那么（-1）ⁿ•a＜n+$\frac{9•（-1）^{n+1}}{n+1}$轉化為：-a＜（2k-1）+$\frac{9•（-1）^{2k}}{2k}$
∴-a＜2k-1+$\frac{9}{2k}$，（k∈N^*）
a＞1-（2k$+\frac{9}{2k}$）
∵2k$+\frac{9}{2k}$$≥2\sqrt{9}=6$，當且僅當k=$\frac{3}{2}$時取等號，
又∵k∈N^*
∴當k=1時，2k$+\frac{9}{2k}$=$\frac{11}{2}$
當k=2時，2k$+\frac{9}{2k}$=$\frac{25}{4}$
可見當k=2時，取得最小值．
∴a＞1-$\frac{25}{4}$=$-\frac{21}{4}$
所以a＞$-\frac{21}{4}$恒成立．
②當n為偶數時，設n=2k（k∈N^*）
那么（-1）ⁿ•a＜n+$\frac{9•（-1）^{n+1}}{n+1}$轉化為：a＜2k-$\frac{9}{2k+1}$
∴a＜2k+1-$\frac{9}{2k+1}$-1，（k∈N^*）
2k+1-$\frac{9}{2k+1}$≥0，
所以a＜-1時恒成立．
綜上所述：a的取值范圍是（$-\frac{21}{4}，-1$）
故答案為（$-\frac{21}{4}，-1$）

點評 本題考查了函數恒成立，不等式知識點，考查轉化思想，分類討論思想．屬于中檔題．