分析 (Ⅰ)若a1=6,由于${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n},{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36,{a_n}>18\end{array}\right.({n=1,2,…})$,M={an|n∈N*}.可得a2=2a1=12,a3=24,a4=12,…,即可得出集合M的所有元素.
(Ⅱ)①由于集合M存在一個元素是3的倍數(shù),不妨設(shè)ak是3的倍數(shù),由${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n},{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36,{a_n}>18\end{array}\right.({n=1,2,…})$,可歸納證明對任意n≥k,an是3的倍數(shù).
②對a1≤36,an=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n-1},{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n-1}-36,{a}_{n}>18}\end{array}\right.$,(n=1,2,…),可歸納證明對任意n≥k,an<36(n=2,3,…),由a1是正整數(shù),a2=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1},{a}_{1}≤18}\\{2{a}_{1}-36,{a}_{1}>18}\end{array}\right.$,可得a2是2的倍數(shù).從而當n≥2時,an是2的倍數(shù).如果a1是3的倍數(shù),則對所有正整數(shù)n,an是3的倍數(shù).如果a1不是3的倍數(shù),對所有正整數(shù)n,an不是3的倍數(shù).進而得出.
解答 解:(Ⅰ)若a1=6,由于${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n},{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36,{a_n}>18\end{array}\right.({n=1,2,…})$,M={an|n∈N*}.
∴a2=2a1=12,a3=2a2=24,a4=2×a3-36=12,…,
故集合M的所有元素為6,12,24.
(Ⅱ)①∵集合M存在一個元素是3的倍數(shù),∴不妨設(shè)ak是3的倍數(shù),
由${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n},{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36,{a_n}>18\end{array}\right.({n=1,2,…})$,可歸納證明對任意n≥k,an是3的倍數(shù).
如果k=1,M的所有元素都是3的倍數(shù);
如果k>1,∵ak=2ak-1,或ak=2ak-1-36,∴2ak-1是3的倍數(shù);于是ak-1是3的倍數(shù);
類似可得,ak-2,…,a1都是3的倍數(shù);
從而對任意n≥1,an是3的倍數(shù);
綜上,若集合M存在一個元素是3的倍數(shù),則集合M的所有元素都是3的倍數(shù)
②對a1≤36,an=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n-1},{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n-1}-36,{a}_{n}>18}\end{array}\right.$,(n=1,2,…),可歸納證明對任意n≥k,an<36(n=2,3,…)
∵a1是正整數(shù),a2=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1},{a}_{1}≤18}\\{2{a}_{1}-36,{a}_{1}>18}\end{array}\right.$,∴a2是2的倍數(shù).
從而當n≥2時,an是2的倍數(shù).
如果a1是3的倍數(shù),則對所有正整數(shù)n,an是3的倍數(shù).
因此當n≥3時,an∈{12,24,36},這時M的元素個數(shù)不超過5.
如果a1不是3的倍數(shù),對所有正整數(shù)n,an不是3的倍數(shù).
因此當n≥3時,an∈{4,8,16,20,28,32},這時M的元素個數(shù)不超過8.
當a1=1時,M={1,2,4,8,16,20,28,32},有8個元素.
綜上可得:集合M的元素個數(shù)的最大值是8.
點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、數(shù)的整除性質(zhì),考查了分類討論方法、推理能力與計算能力,屬于難題.
科目:高中數(shù)學 來源:2017屆湖北省百所重點校高三聯(lián)合考試數(shù)學(文)試卷(解析版) 題型:選擇題
為得到函數(shù)的圖象,可將函數(shù)
的圖象( )
A.向左平移個單位 B.向左平移
個單位
C.向右平移個單位 D.向右平移
個單位
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科目:高中數(shù)學 來源:2017屆河北滄州市高三9月聯(lián)考數(shù)學(文)試卷(解析版) 題型:選擇題
執(zhí)行如圖所示的算法,則輸出的結(jié)果是( )
A.2 B. C.
D.1
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科目:高中數(shù)學 來源:2017屆河北滄州市高三9月聯(lián)考數(shù)學(理)試卷(解析版) 題型:解答題
已知動圓(
為圓心)經(jīng)過點
,并且與圓
相切.
(Ⅰ)求點的軌跡
的方程;
(Ⅱ)經(jīng)過點的直線
與曲線
相交于點
,
,并且
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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