Question

已知函數f(x)=

1

3

ax3+x2+2x+1（a≤0）．
（I）求函數f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（II）若函數f（x）在（-2，-1）上單調遞減，且在（0，1）上單調增，求實數a的取值范圍；
（III）當a=-1時，若?x₀∈（t，0]，函數f（x）的切線中總存在一條切線與函數f（x）在x₀處的切線垂直，求t的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用導數的幾何意義，求出曲線在該點處的導數，即切線的斜率，然后代入y=kx+b，從而得到切線方程；
（II）分兩種情況討論：當a=0時，函數f（x）=x²+2x+1符合題意；當a＜0時，先求f′（x），由于函數f（x）在（-2，-1）上單調遞減，且在（0，1）上單調增，以在（-2，-1）上導函數f′（x）≤0及在（0，1）上f′（x）≥0恒成立，即滿足

f′(-2)＜0 f′(-1)≤0

和

f′(0)＞0 f′(1)≥0

都成立．從而解出這兩個不等式組即可求出實數a的取值范圍．
（III）當a=-1時f（x）=-

1

3

x3+x2+2x+1，函數f（x）所有切線的斜率都必須滿足k=f′（x）≤3，如果不存在這樣的切線與函數f（x）在x₀處的切線垂直即是-

1

f‘(x0)

＞3，解得x₀的范圍，然后求出存在時x₀的范圍，再利用?x₀∈（t，0]，求出t的范圍，從而求出最值．

解答：解：（I）f′（x）=ax²+2x+2，f′（0）=2，f（0）=1
∴函數f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y=2x+1；
（II）當a=0時，f（x）=x²+2x+1，滿足題意；
     當a＜0時，f′（x）=ax²+2x+2，則由于函數f（x）在（-2，-1）上單調遞減，且在（0，1）上單調增，
所以在（-2，-1）上導函數f′（x）≤0及在（0，1）上f′（x）≥0恒成立，
即滿足

f′(-2)＜0 f′(-1)≤0

 ①和

f′(0)＞0 f′(1)≥0

②都成立．由①得

a(-2)2+2×(-2)+2＜0 a(-1)2+2×(-1)+2≤0

解得a≤0，
由②得a≥-4，∴-4≤a＜0；
綜上，a的取值范圍是-4≤a＜0．
（III）∵當a=-1時f（x）=-

1

3

x3+x2+2x+1，∴f′（x）=-x²+2x+2=-（x-1）^2₊₃，即函數f（x）所有切線的斜率都f′（x）≤3，
如果不存在這樣的切線與函數f（x）在x₀處的切線垂直即是-

1

f‘(x0)

＞3，即

-1

-x02+2x0+2

＞3，
解得1+

3

＜x0 ＜1+ 

10 3

或1-

10 3

＜x0＜1-

3

，即存在這樣的切線符合條件，則x₀的范圍是
x0≤1-

10 3

或1-

3

≤x0≤1+

3

或x0≥1+

10 3

，
又知x₀≤0，∴x0≤1-

10 3

或1-

3

≤x0≤0，又∵?x₀∈（t，0]，∴（t，0]⊆(-∞，1-

10 3

]∪[1-

3

，0]
∴1-

3

≤t，故t的最小值為1-

3

點評：本題考查了導數的幾何意義及利用導數研究函數的單調性，解題時注意結合圖形，進行分類討論