Question

己知函數(shù)f(x)=

1

2

(1+x)2-ln(1+x)
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈[

1

e

-1，e-1]時，f（x）＜m恒成立，求m的取值范圍；
（3）若設(shè)函數(shù)g(x)=

1

2

x2+

1

2

x+a，若g（x）的圖象與f（x）的圖象在區(qū)間[0，2]上有兩個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0（小于0），從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）得f（x）在 x∈[

1

e

-1，e-1]的單調(diào)性，進(jìn)一步求出f（x）_max，得到m的范圍；
（3）由

1

2

(1+x)2-ln(1+x)=

1

2

x2+

1

2

x+a得2a=（1+x）-2ln（1+x），構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的值域，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)定義域為（-1，+∞），∵f(x)=

1

2

(1+x)2-ln(1+x)∴f′（x）=

x(2+x)

1+x

，
由f'（x）＞0及x＞-1，得x＞0，由f'（x）＜0及x＞-1，得-1＜x＜0．
則遞增區(qū)間是（0，+∞），遞減區(qū)間是（-1，0）；
（2）由f′（x）=

x(2+x)

1+x

=0，得x=0或x=-2
由（1）知，f（x）在[

1

e

-1，0]上遞減，在[0，e-1]上遞增
又f（

1

e

-1）=

1

2e2

+1，f（e-1）=

1

2

e2-1，

1

2

e2-1＞

1

2e2

+1
∴x∈[

1

e

-1，e-1]時，[f（x）]_max=

1

2

e2-1，
∴m＞

1

2

e2-1時，不等式f（x）＜m恒成立；
（3）由

1

2

(1+x)2-ln(1+x)=

1

2

x2+

1

2

x+a得2a=（1+x）-2ln（1+x）
令h（x）=（1+x）-2ln（1+x），則h′（x）=

x-1

x+1

∴h（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增
∵h(yuǎn)（0）=1，h（1）=2-2ln2，h（3）=3-2ln3，且h（1）＞h（2）＞h（1）
∴當(dāng)2a∈（2-2ln2，3-2ln3），即a∈（1-ln2，

3

2

-ln3）時，g（x）的圖象與f（x）的圖象在區(qū)間[0，2]上有兩個交點．

點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值．解決不等式恒成立求參數(shù)的范圍，一般是將參數(shù)分離出來，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求出函數(shù)的最值，得到參數(shù)的范圍．