Question

已知函數(shù)F（x）=

f(x)

x

在定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，若f（x）=lnx+ax²，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：F（x）=

f(x)

x

在定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，則F′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，分離參數(shù)a≥-

1-lnx

x2

在（0，+∞）恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=-

1-lnx

x2

，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的最大值即可．

解答： 解：∵f（x）=lnx+ax²，
∴F（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

+ax，
∴F′（x）=

f(x)

x

=

1-lnx

x2

+a，
∵F（x）=

f(x)

x

在定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，
∴F′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即

1-lnx

x2

+a≥0在（0，+∞）恒成立，
∴a≥-

1-lnx

x2

在（0，+∞）恒成立，
設(shè)g（x）=-

1-lnx

x2

，
∴g′（x）=-

2lnx-3

x3

，
令g′（x）=-

2lnx-3

x3

=0，解得x=e

3

2

，
當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，即x＞e

3

2

，函數(shù)遞減，
當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，即0＜x＜e

3

2

，函數(shù)遞增，
故當(dāng)x=e

3

2

，函數(shù)g（x）有最大值，即g（x）_max=g（e

3

2

）=

1

2e3

，
∴a≥

1

2e3

．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性以及最值的關(guān)系，以及函數(shù)恒成立的問題，關(guān)鍵是分離參數(shù)，求出函數(shù)的最最，屬于中檔題