Question

例1某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案，準(zhǔn)備每周（按120個(gè)工時(shí)算）生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共360臺(tái)，且冰箱至少生產(chǎn)60臺(tái)，已知生產(chǎn)家電產(chǎn)品每臺(tái)所需工時(shí)和每臺(tái)產(chǎn)值如下表：

家電名稱	空調(diào)機(jī)	彩電	冰箱
工時(shí)	1 2	1 3	1 4
產(chǎn)值/千元	4	3	2

問：每周應(yīng)用生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺(tái)，才使產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值多少？（以千元為單位）

Answer 1

分析：本題屬于“表格”給出函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)問題，如果設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱分別為x，y，z臺(tái)，則x+y+z=360，

1

2

x+

1

3

y+

1

4

z=120，總產(chǎn)值為4x+3y+2z．本題可以從三個(gè)式子入手，通過消元將S=4x+3y+2z變成關(guān)于z的函數(shù)求其在[60，360]上的最大值．

解答：解：設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱分別為x，y，z臺(tái)，
則x+y+z=360，

1

2

x+

1

3

y+

1

4

z=120，總產(chǎn)值為4x+3y+2z．
令s=4x+3y+2z
由x+y+z=360與

1

2

x+

1

3

y+

1

4

z=120得y=360-

3

2

z，x=

1

2

z
故s=4x+3y+2z=4×

1

2

z+3×（360-

3

2

z）+2z=1080-

1

2

z
又z∈[60.360]
s在[60.360]上是減函數(shù)，當(dāng)z=60時(shí)，取到最大值．此時(shí)x=30，y=270
故s的最大值是1080-

1

2

×60=1050
綜上知每周生產(chǎn)30臺(tái)空調(diào)、270臺(tái)彩電、60臺(tái)冰箱產(chǎn)值最高，最高為1050

點(diǎn)評：本題把總產(chǎn)值表示成變量z的函數(shù)后，用單調(diào)性求出最值．