Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示過(guò)原點(diǎn)的曲線，且在x＝±1處的切線的傾斜角均為π，有以下命題：

①f(x)的解析式為f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]．

②f(x)的極值點(diǎn)有且只有一個(gè)．

③f(x)的最大值與最小值之和等于零．

其中正確命題的序號(hào)為________．

Answer 1

【答案】①③.

【解析】分析：先根據(jù)已知條件，列出的方程組并解之得由此得到①是真命題；對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，可得在區(qū)間[－2,2]上導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)也就有兩個(gè)極值點(diǎn)，故②為假命題；根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得的最大值與最小值之和為零，故③為真命題，由此可得正確答案.

詳解：因?yàn)楹瘮?shù)

所以得

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得結(jié)合題意知

，解之得

對(duì)于①，函數(shù)解析式為故①是真命題;

對(duì)于②因?yàn)?/span>，在區(qū)間 [－2,2]上有兩個(gè)零點(diǎn)，故的極值點(diǎn)有兩個(gè)，得②為假命題.

對(duì)于③，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以若它在[－2,2]上的最大值為，則它的最小值為，所以的最大值與最小值之和為零，故命題③為真命題.

故本題答案為①③..