Question

設函數f（x）=x²-a．
（Ⅰ）求函數g（x）=xf（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值；
（Ⅱ）當a＞0時，記曲線y=f（x）在點P（x₁，f（x₁））（x1＞

a

）處的切線為l，l與x軸交于點A（x₂，0），求證：x1＞x2＞

a

．

Answer 1

分析：（I）先求出f（x）的導數，根據f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間，求出極值；研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最小值．
（II）欲判別x₁和x₂的大小，只須先求出其斜率的值，再利用導數求出在x=x₁處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．最后求出切線的方程，令y=0求得x₂，作差與0比較即得．

解答：解：（Ⅰ）g（x）=x³-ax，g′（x）=3x²-a，（2分）
當a≤0時，g（x）為R上的增函數，
所以g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為g（0）=0；（4分）
當a＞0時，g′（x）的變化情況如下表：
所以，函數g（x）在(-∞，-

a 3

)，(

a 3

，+∞)上單調遞增，在(-

a 3

，

a 3

)上單調遞減．（6分）
當

a 3

＜1，即0＜a＜3時，g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為g(

a 3

)=-

2a

9

3a

；（7分）
當

a 3

≥1，即a≥3時，g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為g（1）=1-a．（8分）
綜上，當a≤0時，g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為g（0）=0；當0＜a＜3時，g（x）的最小值為-

2a

9

3a

；當a≥3時，g（x）的最小值為1-a．
（Ⅱ）證明：曲線y=f（x）在點P（x₁，f（x₁））（x1＞

a

）處的切線方程為y-（x₁²-a）=2x₁（x-x₁），
令y=0，得x2=

x 2 1 +a

2x1

，（10分）
所以x2-x1=

a- x 2 1

2x1

，因為x1＞

a

，所以

a- x 2 1

2x1

＜0，x₂＜x₁．（11分）
因為x1＞

a

，所以

x1

2

≠

a

2x1

，
所以x2=

x 2 1 +a

2x1

=

x1

2

+

a

2x1

＞

a

，（13分）
所以x1＞x2＞

a

．（14分）

點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數求閉區(qū)間上函數的最值、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．