Question

（2013•太原一模）已知函數(shù)f（x）=1nx-x．
（I）若不等式 xf（x）≥-2x²+ax-12對一切x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍
（Ⅱ）若關于x的方程 f（x）-x³+2ex²-bx=0恰有一解（e為自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)b的值．

Answer 1

分析：（I）分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解決，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)可求得函數(shù)的最值；
（Ⅱ）lnx-x-x³+2ex²-bx=0在（0，+∞）上有唯一解，即

lnx

x

=x²-2ex+（b+1）在（0，+∞）上有唯一解，構(gòu)造函數(shù)h（x）=

lnx

x

，x＞0，利用導數(shù)可求得x=e時h（x）取得最大值，構(gòu)造函數(shù)k（x）=x²-2ex+（b+1），由二次函數(shù)的性質(zhì)可得x=e時k（x）取得最小值，欲滿足題意，只需h（x）_max=k（x）_min，由此可求得b值；

解答：解：（I）由題意得xlnx-x²≥-2x²+ax-12對一切x∈（0，+∞）恒成立，即a≤lnx+x+

12

x

對一切x∈（0，+∞）恒成立，
設g（x）=lnx+x+

12

x

，x＞0，則g′（x）=

(x+4)(x-3)

x2

，
當0＜x＜3時，g′（x）＜0，g（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，當x＞3時，g′（x）＞0，g（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞增，
所以g（x）_min=g（3）=7+ln3，
所以a∈（-∞，7+ln3]；
（Ⅱ）由題意得，lnx-x-x³+2ex²-bx=0在（0，+∞）上有唯一解，即

lnx

x

=x²-2ex+（b+1）在（0，+∞）上有唯一解，
設h（x）=

lnx

x

，x＞0，則h′（x）=

1-lnx

x2

，
令h′（x）＞0，則0＜x＜e；令h′（x）＜0，則x＞e，
所以h（x）_max=h（e）=

1

e

；
設k（x）=x²-2ex+（b+1），則k（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
所以k（x）_min=k（e）=b+1-e²，
所以當且僅當b+1-e²=

1

e

時，方程

lnx

x

=x²-2ex+（b+1）在（0，+∞）上有唯一解，
所以b=e2+

1

e

-1．

點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查函數(shù)恒成立問題，解決恒成立問題的關鍵是進行等價轉(zhuǎn)化，常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，考查數(shù)形結(jié)合思想．