已知數(shù)列{Pn}滿足：（1）P1=
2
3
，P2=
7
9
；（2）Pn+2=
2
3
Pn+1+
1
3
Pn．
（Ⅰ）設bn=Pn+1-Pn，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求
lim
n→∞
Pn．
分析：（Ⅰ）對Pn+2=
2
3
Pn+1+
1
3
Pn進而變形Pn+2-Pn+1=-
1
3
Pn+1+
1
3
Pn，進而可證明{Pn+1-Pn}為等比數(shù)列，即數(shù)列{bn}是等比數(shù)列
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得數(shù)列{bn}的通項公式，即數(shù)列{Pn+1-Pn}的通項公式，進而利用分組法，進行求和得Pn=
3
4
+
1
4
•(-
1
3
)n，進而可求得
lim
n→∞
Pn．
解答：解：（Ⅰ）bn+1=Pn+2-Pn+1=-
1
3
Pn+1+
1
3
Pn=-
1
3
bn，
又b1=
1
9
，
∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=
1
9
(-
1
3
)n-1=(-
1
3
)n+1，
即Pn+1-Pn=bn=(-
1
3
)n+1，
∴Pn=P1+（P2-P1）+（P3-P2）+…+（Pn-Pn-1）=
2
3
+(-
1
3
)2+(-
1
3
)3++(-
1
3
)n=
3
4
+
1
4
•(-
1
3
)n．
∴
lim
n→∞
Pn=
lim
n→∞
[
3
4
+
1
4
•(-
1
3
)n]=
3
4
．
點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質．屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=-1，當n≥3，n∈N*時，
an
n-1
-
an-1
n-2
=
3
(n-1)(n-2)
．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）是否存在k∈N*，使得n≥k時，不等式Sn+（2λ-1）an+8λ≥4對任意實數(shù)λ∈[0，1]恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，請說明理由．
（3）在x軸上是否存在定點A，使得三點Pn(an，2an+5)、Pm(am，2am+5)、Pk(ak，2ak+5)（其中n、m、k是互不相等的正整數(shù)且n＞m＞k≥2）到定點A的距離相等？若存在，求出點A及正整數(shù)n、m、k；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）已知數(shù)列{an}滿足：a1=-5，an+1=2an+3n+1，已知存在常數(shù)p，q使數(shù)列{an+pn+q}為等比數(shù)列．
（1）求常數(shù)p、q及{an}的通項公式；
（2）解方程an=0．
（3）求|a1|+|a2|+…+|an|．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知數(shù)列{Pn}滿足：（1）P1=
2
3
，P2=
7
9
；（2）Pn+2=
2
3
Pn+1+
1
3
Pn．
（Ⅰ）設bn=Pn+1-Pn，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求
lim
n→∞
Pn．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年春高二期末數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知數(shù)列{Pn}滿足：（1），；（2）．
（Ⅰ）設bn=Pn+1-Pn，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求．

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