Question

設y=f（x）是二次函數(shù)，方程f（x）=0有兩個相等的實根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表達式；
（2）若直線x=-t（0＜t＜1把y=f（x））的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=ax²+bx+c，根據(jù)f′（x）=2x+2求出a、b的值，再由方程f（x）=0有兩個相等的實根，△=0，求得c的值，即可得到函數(shù)的解析式．
（2）由題意可得

f

-t -1

 （ x²+2x+1）dx=

f

0 -t

（ x²+2x+1）dx，即（

1

3

x³+x²+x）

|

-t -1

=（

1

3

x³+x²+x）

|

0 -t

，
化簡得2（t-1）³=-1，由此求得t的值．

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c，則f′（x）=2ax+b，又因為 f′（x）=2x+2，
∴a=1，b=2，∴f（x）=x²+2x+c．
由于方程f（x）=0有兩個相等的實根，∴△=4-4c=0，解得 c=1，∴f（x）=x²+2x+1．
（2）由題意可得

f

-t -1

 （ x²+2x+1）dx=

f

0 -t

（ x²+2x+1）dx，
即 （

1

3

x³+x²+x）

|

-t -1

=（

1

3

x³+x²+x）

|

0 -t

，
即-

1

3

t³+t²-t+

1

3

=

1

3

t³-t²+t，
∴2t³-6t²+6t-1=0，
即2（t-1）³=-1，∴t=1-

1

3 2

．

點評：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，導數(shù)的運算，定積分的應用，屬于中檔題．