Question

求函數(shù)y=x+

1

x

(x≠0)的最值．

Answer 1

分析：求導(dǎo)數(shù)y′=1-

1

x2

，通過解不等式y(tǒng)′＞0，y′＜0可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性可得結(jié)論．

解答：解：y′=1-

1

x2

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時(shí)，y′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)x＜-1時(shí)，y′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，-1＜x＜0時(shí)，y′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；
所以函數(shù)y=x+

1

x

(x≠0)在（-∞，-1）上遞增，在（-1，0）上遞減，在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
所以y=x+

1

x

≤-1+

1

-1

=-2，或y=x+

1

x

≥1+

1

1

=2，
故函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-2]∪[2，+∞）．
故函數(shù)無最大值，也無最小值．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及證明，考查函數(shù)思想，屬中檔題．