已知向量
a
=(
3
sinωx,cosωx),
b
=(cosωx,-cosωx),(ω>0)
,函數(shù)f(x)=
a
b
+
1
2
的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
π
4
,
(1)求ω;
(2)若x∈(0,
5
12
π)
時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)若cosx≥
1
2
,x∈(0,π)
,且f(x)=m有且僅有一個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的值.
分析:(1)由已知中向量
a
=(
3
sinωx,cosωx),
b
=(cosωx,-cosωx),(ω>0)
,函數(shù)f(x)=
a
b
+
1
2
,我們易求出函數(shù)的解析式,由函數(shù)f(x)=
a
b
+
1
2
的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
π
4
,我們易得函數(shù)的最小正周期為
π
2
,由公式求出ω
(2)由正弦函數(shù)的單調(diào)性,令2kπ-
π
2
≤4x-
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈
z,解出x的取值范圍與所給的區(qū)間求交既得.
(3)由cosx≥
1
2
,x∈(0,π)
,解出x的取值范圍,作出符合條件的f(x)的圖象,變f(x)=m有且僅有一個(gè)實(shí)根的問題為兩個(gè)函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的問題,由圖即可得到參數(shù)的取值范圍.
解答:精英家教網(wǎng)解:由題意,f(x)=
3
sinωx•cosωx-cos2ωx+
1
2

=
3
2
sin2ωx-
1+cos2ωx
2
+
1
2

=
3
2
sin2ωx-
1
2
cos2ωx

=sin(2ωx-
π
6
)

(1)∵兩相鄰對稱軸間的距離為
π
4
T=
=
π
2
,∴ω=2
(2)由(1)知f(x)=sin(4x-
π
6
)
,令2kπ-
π
2
≤4x-
π
6
≤2kπ+ 
π
2
,k∈
z,解得
2
-
π
12
≤ x≤
2
+
π
6
,k∈z
x∈(0,
5
12
π)
,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,
π
6
)

(3)∵cosx≥
1
2
,又因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在(0,π)上是減函數(shù),∴x∈(0,
π
3
]

f(x)=
a
b
+
1
2
=sin(4x-
π
6
)
,g(x)=m,在同一直角坐標(biāo)系中
作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,可知:m=1或m=-
1
2
點(diǎn)評:本題考查由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式,求解的重點(diǎn)是從圖象觀察出函數(shù)的周期、最值、及點(diǎn)的坐標(biāo)等幾何特征來,然后根據(jù)相關(guān)的公式求出解析式中的參數(shù),本題中考查了轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)算,如第三小問中將方程有一個(gè)根的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的問題,從而可以用圖象法解決問題,恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化可以迅速達(dá)成問題的求解.本題運(yùn)算量較大,求解時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn),避免馬虎導(dǎo)致運(yùn)算出錯(cuò).
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(
3
sinθ,1),
b
=(1,cosθ)
,則
a
b
的最大值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(
3
sinωx,cosωx)
,
b
=(cosωx,-cosωx),ω>0,記函數(shù)f(x)=
a
b
,已知f(x)的最小正周期為
π
2

(1)求ω的值;
(2)設(shè)△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac,且邊b所對的角為x,求此時(shí)函數(shù)f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(
3
sin(π-ωx),cosωx),
b
=(cosωx,-cosωx)
,函數(shù)f(x)=
a
b
+
1
2
(ω>0)的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
π
4

(1)求ω值;
(2)若cosx≥
1
2
,x∈(0,π)
,且f(x)=m有且僅有一個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(
3
sinωx,cosωx),
b
=(cosωx,cosωx),ω>0
,記函數(shù)f(x)=
a
b
,
若函數(shù)f(x)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)當(dāng)0<x≤
π
3
時(shí),試求f(x)的值域;
(3)求f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(
3
sinωx,cosωx)
,
b
=(cosωx,cosωx)
其中ω>0,記函數(shù)f(x)=
a
b
,已知f(x)的最小正周期為π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)說出由y=sinx的圖象經(jīng)過如何的變換可得到f(x)的圖象;
(3)當(dāng)0<x<
π
3
時(shí),試求f(x)的值域.

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